活动一:读一读 议一议
阅读课本第 161 页的“问题”，回答下列问题：
（1）你能得到哪些数量信息？
（2）这些数量之间有什么关系？你能用什么方法来描述这些数量之间的关系？
（3）求纸杯总高度就是求表达式中的哪个量？
答案：（1）根据课本第161页的“问题”，可以得到以下数量信息：
单个纸杯的高度；
当纸杯叠放时，每增加一个纸杯，总高度增加的固定值；
纸杯的数量。
（2）这些数量之间的关系可以通过一次函数来描述。
设单个纸杯的高度为$b$，纸杯的数量为$x$，叠放时总高度为$L$，每增加一个纸杯增加的高度为$k$，则它们之间的关系可以表示为：
$L = kx + b$。
（3）求纸杯总高度就是求上述表达式中的$L$。
活动二:做一做 议一议
阅读课本第 162 页的例 1，回答下列问题：
（1）每天销售收入与生产数量之间有怎样的关系？用函数表达式表示出来.
（2）利润、成本（包括固定成本、原料及加工成本）、生产数量之间有怎样的关系？用函数表达式表示出来.
答案：（1）设销售收入为$R$（单位：元），生产数量为$x$（单位：件），
假设每件产品的售价为$k$元（$k$为常数），
则销售收入$R$与生产数量$x$之间的关系可以表示为：
$R = kx$。
（2）设总成本为$C$（单位：元），其中固定成本为$F$（单位：元），
每件产品的原料及加工成本为$v$（单位：元/件），生产数量为$x$（单位：件），利润为$P$（单位：元），
则总成本$C$可以表示为：
$C = F + vx$，
利润$P$则是销售收入$R$减去总成本$C$，即：
$P = R - C$，
将$R = kx$和$C = F + vx$代入上式，得到：
$P = kx - (F + vx)$，
化简得：
$P = (k - v)x - F$。
活动三:想一想 说一说
阅读课本第 162 页的“探究”，回答下列问题：
（1）“利润超过 9000 元/天”可以用怎样的式子表示？
（2）根据第(1)题中的式子，尝试解决“探究”问题.
答案：（1）设每天利润为$W$元，“利润超过 9000 元/天”可以用式子$W ＞ 9000$表示。
（2）设每件降价$x$元，每天销售量$y = 20 + 5x$，每件利润为$(40 - x)$元。
则$W=(20 + 5x)(40 - x)=-5x^{2}+180x + 800$。
由$W＞9000$，即$-5x^{2}+180x + 800＞9000$，
$-5x^{2}+180x - 8200＞0$，$x^{2}-36x + 1640＜0$。
对于一元二次方程$x^{2}-36x + 1640 = 0$，
其中$a = 1$，$b=-36$，$c = 1640$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-36)^{2}-4×1×1640=1296 - 6560=-5264＜0$，
此方程无实数根，函数$y=x^{2}-36x + 1640$图象开口向上，
所以$x^{2}-36x + 1640＜0$的解集为空集，在实际情况中，若考虑$x$的取值范围（如$0\leq x\leq40$），
我们换一种思路，由$W=(20 + 5x)(40 - x)=-5x^{2}+180x + 800=-5(x - 18)^{2}+9620$。
当$W＞9000$时，$-5(x - 18)^{2}+9620＞9000$，
$-5(x - 18)^{2}＞-620$，$(x - 18)^{2}＜124$，
$-\sqrt{124}＜x - 18＜\sqrt{124}$，$18 - 2\sqrt{31}＜x＜18 + 2\sqrt{31}$，
因为$\sqrt{31}\approx5.57$，所以$18-2×5.57＜x＜18 + 2×5.57$，$6.86＜x＜29.14$，
又因为$0\leq x\leq40$且$x$为整数，所以$7\leq x\leq29$（$x$为整数）。
综上，（1）$W ＞ 9000$；（2）当$7\leq x\leq29$（$x$为整数）时，利润超过$9000$元/天。
1. 某小汽车的油箱可装汽油 30 L，原有汽油 10 L，现再加汽油 x L. 如果每升汽油 7.6 元，那么油箱内汽油的总价 y 元关于 x L 的函数表达式是 （ ）
A.$ y=7.6x(0\leqslant x\leqslant 20) $
B.$ y=7.6x+76(0\leqslant x\leqslant 20) $
C.$ y=7.6x+10(0\leqslant x\leqslant 20) $
D.$ y=7.6x+76(10\leqslant x\leqslant 30) $
答案：B
解析：
1. 首先确定油箱内汽油的总量。原有汽油为 10 L，现再加汽油 $x$ L，所以油箱内汽油的总量为 $(10+x)$ L。
2. 接着计算汽油的总价。每升汽油的价格是 7.6 元，所以汽油的总价 $y$ 为：
$y = 7.6 × (10 + x)$
$y = 7.6x + 76$
3. 最后确定 $x$ 的取值范围。油箱可装汽油 30 L，原有汽油 10 L，所以最多再加 20 L 汽油，即 $0 \leq x \leq 20$。
综合以上三点，得到函数表达式 $y = 7.6x + 76$，且 $0 \leq x \leq 20$。
2. 如图是某蓄水池的横截面示意图，如果以固定的流量把蓄水池蓄满，下面的图象能大致表示水的深度 h 和注水时间 t 之间关系的是 （ ）
答案：B
解析：
蓄水池的横截面示意图通常意味着蓄水池的形状可能是上宽下窄的（例如梯形或倒三角形等）。
在以固定流量注水的情况下，由于蓄水池上宽下窄，随着水深 $h$ 的增加，蓄水池的底面积逐渐增大，因此水深 $h$ 的增加速度会逐渐变慢。
分析选项中的图象：
A选项：表示水深 $h$ 随时间 $t$ 线性增加，即速度恒定，不符合蓄水池上宽下窄的情况。
B选项：表示水深 $h$ 的增加速度逐渐变慢，符合蓄水池上宽下窄的情况。
C选项：表示水深 $h$ 的增加速度逐渐加快，不符合蓄水池上宽下窄的情况。
D选项：表示水深 $h$ 先快后慢地增加，但通常不符合实际蓄水池的注水情况。
3. 某种型号汽车油箱容量为 40 L，每行驶 100 km 耗油 10 L. 设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为 x km，行驶过程中油箱内剩余油量为 y L.
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的$\frac{1}{4}$，按此建议，求该辆汽车加满油一次最多行驶的路程.
答案：（1）由题意，每行驶$100km$耗油$10L$，则行驶$xkm$耗油$\frac{10}{100}x = \frac{x}{10}(L)$。
因为汽车油箱容量为$40L$，行驶过程中油箱内剩余油量为$yL$，所以有：
$y = 40 - \frac{x}{10} \quad (0 \leq x \leq 400)$
（2）根据厂家建议，油箱内剩余油量不低于油箱容量的$\frac{1}{4}$，即：
$y \geq 40 × \frac{1}{4}$
$y \geq 10$
将$y = 40 - \frac{x}{10}$代入上式，得：
$40 - \frac{x}{10} \geq 10$
解这个不等式，得到：
$x \leq 300$
所以，该辆汽车加满油一次最多行驶的路程是$300km$。
4. 某产品每件成本为 10 元，试销阶段发现每件产品的销售价 x 元与产品的日销售量 y 件之间的关系如下表：
| x/元 | … | 15 | 20 | 25 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y/件 | … | 25 | 20 | 15 | … |
已知 y 是 x 的一次函数.
（1）求日销售量 y 件关于每件产品的销售价 x 元的函数表达式；
（2）当每件产品的销售价定为 30 元时，求每日的销售利润.
答案：（1）设日销售量$y$件与每件产品的销售价$x$元之间的函数关系式为$y = kx + b$。
根据表格中的数据，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}25 = 15k + b, \\20 = 20k + b.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 40.\end{cases}$
所以，日销售量$y$件与每件产品的销售价$x$元之间的函数关系式为$y = -x + 40$。
（2）当每件产品的销售价定为30元时，即$x = 30$，代入函数关系式$y = -x + 40$，得到日销售量为：
$y = -30 + 40 = 10$，
每日的销售利润为：
$(30 - 10) × 10 = 200 (元)$，
所以，当每件产品的销售价定为30元时，每日的销售利润为200元。
1. 如图是某工程队修筑的公路长度 y m 与时间 x 天之间的关系图象. 根据图象提供的信息，可知该工程队前 8 天修筑的公路长度是______m.
答案：400
解析：
由图象可知，前8天对应的函数为过点(0,0)和(10,500)的一次函数，设其解析式为y=kx，将(10,500)代入得500=10k，解得k=50，所以y=50x。当x=8时，y=50×8=400。
2. 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度：若每月用水量不超过 14 m³（含 14 m³），则按政府补贴优惠价 a 元/m³收费；若每月用水量超过 14 m³，则超过部分按市场价 b 元/m³收费. 小明家 3 月份用水 20 m³，交水费 49 元；4 月份用水 18 m³，交水费 42 元.
（1）求政府补贴优惠价和市场价分别是多少；
（2）设每月用水量为 x m³，应交水费为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数表达式；
（3）若小明家 5 月份用水 26 m³，则他家应交水费多少元？
答案：（1）根据题意，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}14a + (20 - 14)b = 49, \\14a + (18 - 14)b = 42.\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}14a + 6b = 49, \\14a + 4b = 42.\end{cases}$
解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}a = 2, \\b = 3.5.\end{cases}$
答：政府补贴优惠价为$2$元/m³，市场价为$3.5$元/m³。
（2）根据题意和第一问的答案，我们可以写出$y$关于$x$的函数表达式：
当$0 \leq x \leq 14$时，$y = 2x$；
当$x ＞ 14$时，$y = 14 × 2 + (x - 14) × 3.5 = 3.5x - 21$。
所以，$y = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 14, \\3.5x - 21, & x ＞ 14. \end{cases}$
（3）将$x = 26$代入$y = 3.5x - 21$，
我们得到：$y = 3.5 × 26 - 21 = 70$。
答：小明家5月份应交水费$70$元。
3. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500 t，每生产 1 t 甲产品可获得利润 0.3 万元，每生产 1 t 乙产品可获得利润 0.4 万元. 设该工厂生产了甲产品 x t，生产甲，乙两种产品获得的总利润为 y 万元.
（1）求 y 关于 x 的函数表达式.
（2）若每生产 1 t 甲产品需要 A 原料 0.25 t，每生产 1 t 乙产品需要 A 原料 0.5 t. 受市场影响，该厂能获得的 A 原料至多为 1000 t，其他原料充足. 该工厂生产甲，乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？求出最大利润.
答案：（1）根据题意，生产甲产品$x$吨的利润为$0.3x$万元，生产乙产品$(2500 - x)$吨的利润为$0.4(2500 - x)$万元。
总利润$y$为两者之和，即：
$y = 0.3x + 0.4(2500 - x)$
$y = -0.1x + 1000$
所以，$y$关于$x$的函数表达式为$y = -0.1x + 1000$。
（2）根据题意，生产甲产品$x$吨需要A原料$0.25x$吨，生产乙产品$(2500 - x)$吨需要A原料$0.5(2500 - x)$吨。
A原料的总量不超过1000吨，因此有不等式：
$0.25x + 0.5(2500 - x) \leq 1000$
解这个不等式，得到：
$0.25x + 1250 - 0.5x \leq 1000$
$-0.25x \leq -250$
$x \geq 1000$
由于$y = -0.1x + 1000$是一个斜率为$-0.1$的线性函数，随着$x$的增加，$y$会减小。
因此，当$x = 1000$时，$y$取得最大值。
此时，乙产品的生产量为$2500 - 1000 = 1500$吨。
将$x = 1000$代入$y = -0.1x + 1000$，得到最大利润为：
$y = -0.1 × 1000 + 1000 = 900 (万元]$
所以，该工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润，最大利润为900万元。
