10. 如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,建立平面直角坐标系后,$△ABC$的顶点都在格点上.
(1)画出$△ABC$关于x轴对称的$△A_1B_1C_1$；
(2)将$△ABC$绕点B按顺时针方向旋转90°得到$△A_2BC_2$,则点$C_2$的坐标为
(2,-1)
；
(3)在y轴上找一点P,使得AP+BP最小,在图中画出点P位置.
作点A(或B)关于y轴的对称点,连接该点与点B(或A),与y轴的交点即为P
答案：（1）略 （2）(2,-1) （3）作点A(或B)关于y轴的对称点,连接该点与点B(或A),与y轴的交点即为P
解析：
（1）（画图略）
（2）$(2,-1)$
（3）（画图略，作法：作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$，连接$A'B$，与$y$轴的交点即为点$P$）
11. 在平面直角坐标系中,给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”,当点P的“短距”等于点Q的“短距”时,称P,Q两点为“等距点”.
(1)点B(7,-27)的“短距”为
7
；
(2)若点P(5,m-1)的“短距”为3,求m的值；
m=4或-2
(3)若C(-2,k),D(4,3k-5)两点为“等距点”,求k的值.
k=$\frac{7}{3}$或$\frac{5}{4}$
答案：（1）7 （2）m=4或-2 （3）k=$\frac{7}{3}$或$\frac{5}{4}$
解析：
（1）7
（2）由题意得，点P到x轴距离为|m-1|，到y轴距离为5，较小值为3。
因为5＞3，所以|m-1|=3，
m-1=3或m-1=-3，
解得m=4或m=-2。
（3）点C到x轴距离为|k|，到y轴距离为2，“短距”为min(|k|,2)；
点D到x轴距离为|3k-5|，到y轴距离为4，“短距”为min(|3k-5|,4)。
因为C，D为“等距点”，所以min(|k|,2)=min(|3k-5|,4)。
情况一：|k|≤2且|3k-5|≤4，
则|k|=|3k-5|，
k=3k-5或k=-(3k-5)，
解得k=$\frac{5}{2}$或k=$\frac{5}{4}$。
又|k|≤2且|3k-5|≤4，
k=$\frac{5}{2}$时，|k|=$\frac{5}{2}$＞2，舍去；k=$\frac{5}{4}$时，|k|=$\frac{5}{4}$≤2，|3k-5|=$\frac{5}{4}$≤4，成立。
情况二：|k|≤2且|3k-5|＞4，
则|k|=4，|k|=4与|k|≤2矛盾，无解。
情况三：|k|＞2且|3k-5|≤4，
则2=|3k-5|，
3k-5=2或3k-5=-2，
解得k=$\frac{7}{3}$或k=1。
k=1时，|k|=1≤2，舍去；k=$\frac{7}{3}$时，|k|=$\frac{7}{3}$＞2，|3k-5|=2≤4，成立。
情况四：|k|＞2且|3k-5|＞4，
则2=4，不成立。
综上，k=$\frac{7}{3}$或k=$\frac{5}{4}$。
12. 如图①,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),D是OA的中点,点P在边BC上运动,当$△ODP$是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.(提示：图②、图③备用,不要漏解)
答案：当OD是等腰三角形的底边时,P就是OD的垂直平分线与CB的交点,此时OP=PD≠5;当OD是等腰三角形的一条腰时,若O是顶角顶点,点P的坐标是(3,4);若D是顶角顶点,当点P在点M左侧时,点P的坐标是(2,4);当点P在点M右侧时,点P的坐标是(8,4)
解析：
∵长方形OABC中，A(10,0)，C(0,4)，D是OA中点，
∴OA=10，OC=4，OD=5，点P在BC上，设P(x,4)。
情况1：OD为腰，O为顶角顶点，OP=OD=5。
由勾股定理，$x^2 + 4^2 = 5^2$，解得$x=3$（$x=-3$舍），P(3,4)。
情况2：OD为腰，D为顶角顶点，PD=OD=5。
由勾股定理，$(x-5)^2 + 4^2 = 5^2$，解得$x=2$或$x=8$，P(2,4)或(8,4)。
情况3：OD为底边，OP=PD，此时OP≠5，舍去。
综上，点P的坐标为(2,4)，(3,4)，(8,4)。
