14. 【问题背景】某小区有四栋住宅楼：B栋(B处),C栋(C处),D栋(D处),E栋(E处),A处为小区入口.为方便小区居民传递爱心,物业管理处准备在小区的一条主干道BE上增设一个“爱心衣物回收箱”(图①),现需确定“爱心衣物回收箱”的具体位置,使得它到四栋住宅楼的距离之和最短.某数学兴趣小组成员开展了如下数学活动.
(第14题)
【问题解决】
步骤一：实地测绘.
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图(图②),并测量出了某些道路的长度(如下表所示),进一步抽象成几何图形(图③),其中主干道AC与BE交于点F,BE//CD.小组成员又借助电子测角仪测得∠BCE= 90°,∠CEB= ∠CED.
| 道路 | AE | AB | BC | BF | EF | DE |
| 长度/m | 40 | 30 | 30 | 18 | 32 | 25 |
步骤二：数学计算.
根据图③及表格中的相关数据,完成下列计算：
(1)求道路CD的长；
(2)道路AC= ______m；
步骤三：方案设计.
(3)根据以上探究,在主干道BE上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置(用点G表示).
(4)“爱心衣物回收箱”到四栋住宅楼的距离之和的最小值为多少米？(结果保留根号)
答案：（1）$\because BE// CD$，$\therefore \angle BEC=\angle DCE$.$\because \angle CEB=\angle CED$，$\therefore \angle CED=\angle DCE$.$\therefore CD=DE=25$，故道路CD的长为25 m （2）48 （3）由（2）可得EB垂直平分AC，根据两点之间线段最短可得AD，EB的交点G到A，E，D，B的距离之和最小，又$GA=GC$，则到四栋距离最小的点即为点G，如图所示 （4）$\because DC// EB$，$EB\perp AC$，$\therefore AC\perp DC$，$\therefore \angle ADC=90^\circ$.$\because$点G在EB上，即AC的垂直平分线上，$\therefore GA=GC$，$\therefore \angle GAC=\angle GCA$.$\because \angle GAC+\angle GCD=90^\circ$，$\angle GCA+\angle GDC=90^\circ$，$\therefore \angle GCD=\angle GDC$.$\therefore GD=GC$，$\therefore GA=GD=GC$，$\therefore CG+DG+EG+BG=AG+GD+EG+GB=AD+EB=\sqrt{DC^2+AC^2}+EB=\sqrt{25^2+48^2}+50=(\sqrt{2929}+50)(m)$
