9. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,分别以各边为直径向外作半圆,图中的阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当AC= 8,BC= 4时,阴影部分的面积为______
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答案：16
解析：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4。
根据勾股定理，AB²=AC²+BC²=8²+4²=64+16=80。
设以AC为直径的半圆面积为S₁，半径r₁=AC/2=4，S₁=(1/2)πr₁²=(1/2)π×4²=8π。
以BC为直径的半圆面积为S₂，半径r₂=BC/2=2，S₂=(1/2)πr₂²=(1/2)π×2²=2π。
以AB为直径的半圆面积为S₃，半径r₃=AB/2，S₃=(1/2)πr₃²=(1/2)π×(AB²/4)=(1/8)π×80=10π。
Rt△ABC的面积S=(1/2)×AC×BC=(1/2)×8×4=16。
阴影部分面积=S₁+S₂+S - S₃=8π+2π+16 - 10π=16。
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10. 在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,D在BC的延长线上,连接AD.
(1)若AC= 13,AB= 12,AD= 15,求CD的长；
(2)若AC平分∠BAD,BC= 9,CD= 15,直接写出AB的长.
答案：（1）在$\triangle ABC$中，$AC=13$，$AB=12$，$\therefore BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=5$，在$\triangle ABD$中，$AD=15$，$AB=12$，$\therefore BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=9$，$\therefore CD=BD-BC=4$ （2）如图，过点C作$CE\perp AD$，垂足为E，$\because \angle ABC=90^\circ$，AC平分$\angle BAD$，$\therefore CE=BC=9$.在$\triangle CDE$中，$CD=15$，$CE=9$，$\therefore DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=12$.在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle AEC$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ BC=EC,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle AEC(HL)$，$\therefore AB=AE$，$\therefore AD=AB+12$.在$Rt\triangle ABD$中，$AB^2+BD^2=AD^2$，$\therefore AB^2+24^2=(AB+12)^2$，解得$AB=18$
11. 市政府准备对某公园进行小范围绿化.如图,现计划在公园一块四边形空地上种植草皮,测得∠B= 90°,AB= 24 m,BC= 7 m,CD= 15 m,AD= 20 m,求该四边形空地的面积.
答案：连接AC.$\because \angle B=90^\circ$，$AB=24\ m$，$BC=7\ m$，$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{24^2+7^2}=25(m)$. $\because CD=15\ m$，$AD=20\ m$，$\therefore 15^2+20^2=25^2$，即$DC^2+AD^2=AC^2$，$\therefore \triangle ACD$是直角三角形.$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC=\frac{1}{2}×24×7+\frac{1}{2}×20×15=234(m^2)$
