10. 如图,BE,CF是$\triangle ABC$的两条高,P是边BC的中点,连接PE,PF,EF.
(1)求证：PE= PF；
(2)若$\angle A= 70^\circ$,求$\angle EPF$的度数.
答案：
(1) 因为 BE,CF 是△ABC 的两条高,所以∠BFC=∠BEC=90°.因为 P 是 BC 边的中点,所以 FP= $\frac{1}{2}$BC,EP= $\frac{1}{2}$BC,所以 PE= PF
(2) 因为∠A=70°,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.由
(1)得 PE=PF,EP=CP,所以∠ABC=∠BFP,∠ACB=∠CEP,所以∠BFP+∠CEP=∠ABC+∠ACB=110°,所以∠FPB+∠EPC=360°-(∠ABC+∠ACB+∠BFP+∠CEP)=140°,所以∠EPF=180°-(∠FPB+∠EPC)=40°,所以∠EPF 的度数为 40°
11. 如图,AD是$\triangle ABC$的中线,BE是$\triangle ABD$的中线.
(1)$\angle ABE= 15^\circ$,$\angle BAD= 40^\circ$,求$\angle BED$的度数；
(2)若$\triangle ABC$的面积为40,BD= 5,BE= 6,求$\triangle BDE$的边BE上的高.
答案：
(1) 因为∠BED 是△ABE 的外角,所以∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°
(2) 作 DG⊥BE,由题意可知,$S_{\triangle BDE}$=10,在△BDE 中,$\frac{1}{2}$×BE×DG=10,则 DG= $\frac{10}{3}$
12. 已知$\angle AOB$和动点P,解决下列问题：
(1)如图①,P是$\angle AOB$内部的任意一点,$PM\perp OA$,$PN\perp OB$,垂足分别是M,N,D是OP的中点. 求证：$\angle MDN= 2\angle MON$.
(2)如图②,P是$\angle AOB$外部的任意一点,$PM\perp OA$,$PN\perp OB$,垂足分别是M,N,D是OP的中点,$\angle MDN与\angle MON$有怎样的数量关系？加以证明.
答案：
(1) 因为 PM⊥OA,所以∠OMP=90°.在 Rt△OMP 中,D 是 OP 的中点,所以 DM= $\frac{1}{2}$OP=DO,所以∠DMO=∠DOM,所以∠MDP=2∠MOP.同理可知,∠NDP=2∠NOP,所以∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON
(2) ∠MDN=2∠MON.理由如下:因为 PM⊥OA,所以∠OMP=90°.在 Rt△OMP 中,D 是 OP 的中点,所以 DM= $\frac{1}{2}$OP=DO,所以∠DMO=∠DOM,所以∠MDP=2∠MOP.同理可知,∠NDP=2∠NOP,所以∠MDN=∠NDP-∠MDP=2∠MON
