12. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD是边BC上的中线,BE⊥AC,垂足为E.求证：∠CBE= 1/2∠BAC.
答案：
∵ AB=AC,AD 是边 BC 上的中线,
∴ AD⊥BC,∠BAD=∠CAD= $\frac{1}{2}$∠BAC. 由 AD⊥BC,可得∠CAD+∠C=90°.
∵ BE⊥AC,
∴ ∠CBE+∠C=90°,即∠CBE=∠CAD,
∴ ∠CBE= $\frac{1}{2}$∠BAC
13. 如图,在等腰三角形ABC中,AB= AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD= AE,连接BE,CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并加以证明；
(2)求证：点A,F所在的直线垂直平分线段BC.
答案：
(1)∠ABE=∠ACD. 理由:由 AB=AC,AD=AE 及∠A=∠A,可得△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD
(2)由
(1)可得∠ABE=∠ACD,又因为 AB=AC,则∠ABC=∠ACB,故∠FBC=∠FCB,所以 FB=FC.又因为 AB=AC,故点 A,F 均在线段 BC 的垂直平分线上,则直线 AF 垂直平分线段 BC
14. 如图,在△ABC中,AB= AC,P为底边BC上的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E,F,H.
(1)求证：PE+PF= CH.
(2)若点P在线段BC的延长线上,其他条件不变,则PE,PF,CH有怎样的数量关系？写出猜想,并加以证明.
答案：(1)如图,连接 AP,由 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$,可得 $\frac{1}{2}AB× PE+\frac{1}{2}AC×$ PF= $\frac{1}{2}AB× CH$.
∵ AB=AC,
∴ PE+PF=CH
(2)PE=PF+CH. 证明:连接 AP. $S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACP}$,可得 $\frac{1}{2}AB× PE=\frac{1}{2}AB× CH+\frac{1}{2}AC× PF$.
∵ AB=AC,
∴ PE=PF+CH
