1. (探索规律)用棱长为1cm的小正方体拼成如下的大正方体后,把它们的表面分别涂上颜色。①②③④中,三面、两面、一面涂色及没有涂色的小正方体各有多少个?
(1) 填表。
(2) 先观察上表,再填一填。
如果大正方体每条棱上有$n(n\geqslant3)$个小正方体,那么:
① 三面涂色的小正方体位于顶点处,每个顶点上有一个,共有(
8
)个。
② 两面涂色的小正方体位于棱上,每条棱中间有(
n-2
)个,共有(
12(n-2)
)个。
③ 一面涂色的小正方体位于面上,每个面中间有(
(n-2)²
)个,共有(
6(n-2)²
)个。
④ 没有涂色的小正方体位于大正方体内部,共有(
(n-2)³
)个。
(3) 你能写出第⑨个大正方体中4类小正方体的个数吗?
三面涂色的有8个，两面涂色的有96个，一面涂色的有384个，没有涂色的有512个
答案：（1）
三面涂色的个数
两面涂色的个数
一面涂色的个数
没有涂色的个数
①
8
0
0
0
②
8
12
6
1
③
8
24
24
8
④
8
36
54
27
（2）①8 ②n-2 12(n-2)
③(n-2)² 6(n-2)² ④(n-2)³
（3）三面涂色的有8个，两面涂色的有96个，一面涂色的有384个，没有涂色的有512个
2. (几何直观)选一选。
(1) 由9个小正方体拼成的立体图形如左下图所示,如果把它的表面涂色,那么三面涂色的小正方体有(
C
)个。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
(2) 由27个小正方体拼成的立体图形如右上图所示,若将其表面涂色,则三面涂色的小正方体有(
C
)个。
A.7
B.8
C.9
D.10
答案：C
三面涂色的小正方体位于立体图形的顶点处。由27个小正方体拼成的立体图形为3×3×3的大正方体，原大正方体有8个顶点。观察图形，无顶点处小正方体缺失，故三面涂色的小正方体有8个。
B
解析：
三面涂色的小正方体位于立体图形的顶点处。由27个小正方体拼成的立体图形为3×3×3的大正方体，原大正方体有8个顶点。观察图形，无顶点处小正方体缺失，故三面涂色的小正方体有8个。
B
3. 现有一个长6cm、宽5cm、高3cm的长方体木块,先在它的六个面上都涂上红色,然后把它锯成棱长为1cm的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中,三面涂有红色的有多少个? 两面涂有红色的有多少个? 一面呢? 没有涂色的呢?
答案：三面涂有红色的有8个 两面涂有红色的有32个
一面涂有红色的有38个 没有涂色的有12个
4. (思维过程)有一个大正方体,给它的每个面都涂上蓝色,再把它切成棱长为1厘米的小正方体。如果2面涂色的小正方体有24个,那么这个大正方体的棱长是多少厘米? 1面涂色的小正方体有多少个?
答案：24÷12+2=4(个) 4×1=4(厘米)
(4-2)×(4-2)×6=24(个)
