11. (2024·广东广州南沙区期末)已知$T = 3a + ab - 7c^2 + 3a + 7c^2$.
(1)化简$T$；
(2)当$a = 3,b = -2,c = -\frac{1}{6}$时,求$T$的值.
答案：
(1)T=3a + ab - 7c² + 3a + 7c²=6a + ab；
(2)把a=3,b=-2代入上式,得T=6a + ab=6×3 + 3×(-2)=18 - 6=12.
12. 已知关于$x的多项式mx^4 + (m - 3)x^3 - (n + 2)x^2 + 4x - n$不含二次项和三次项.
(1)求出这个多项式；
(2)求当$x = 2$时代数式的值.
答案：
(1)关于x的多项式mx⁴ + (m - 3)x³ - (n + 2)x² + 4x - n不含二次项和三次项,所以m - 3=0,-(n + 2)=0,所以m=3,n=-2,所以这个多项式为3x⁴ + 4x + 2；
(2)当x=2时,3x⁴ + 4x + 2=3×2⁴ + 4×2 + 2=58.
13. 整体思想 阅读材料：我们知道,$4x - 2x + x= (4 - 2 + 1)x = 3x$,类似地,我们把$(a + b)$看成一个整体,则$4(a + b)-2(a + b)+(a + b)= (4 - 2 + 1)(a + b)= 3(a + b)$,“整体思想”是一种重要的数学思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)尝试应用：把$(a - b)^2$看成一个整体,合并$3(a - b)^2-(a - b)^2 + 7(a - b)^2$,其结果是
9(a - b)²
；
(2)已知$x^2 - 2y = 1$,求$x^2 - 2y + 5$的值.
因为x² - 2y=1,所以原式=x² - 2y + 5=1 + 5=6.
答案：
(1)9(a - b)² [解析]原式=(3 - 1 + 7)(a - b)²=9(a - b)²；
(2)因为x² - 2y=1,所以原式=x² - 2y + 5=1 + 5=6.
14. 新情境 设计数学探究活动 (2023·德阳中考改编)在“点燃我的梦想,数学皆有可衡”数学创新设计活动中,“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式$m,n$按如下规律进行操作：第 1 次操作后得到整式串$m,n,n - m$；第 2 次操作后得到整式串$m,n,n - m,-m$；第 3 次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项,都是用上次操作得到的最末项减去其前一项的差,小强将这个活动命名为“回头差”游戏. 则该“回头差”游戏第 2025 次操作后得到的整式中各项之和是(
C
).
A.$m + n$
B.$m$
C.$n - m$
D.$2n$
答案：C [解析]第1次操作后得到整式串m,n,n - m;第2次操作后得到整式串m,n,n - m,-m;第3次操作后得到整式串m,n,n - m,-m,-n;第4次操作后得到整式串m,n,n - m,-m,-n,-n + m;第5次操作后得到整式串m,n,n - m,-m,-n,-n + m,m;第6次操作后得到的整式串m,n,n - m,-m,-n,-n + m,m,n;第7次操作后得到的整式串m,n,n - m,-m,-n,-n + m,m,n,n - m;…,第2025次操作后得到的整式串m,n,n - m,-m,-n,-n + m,…,m,n,n - m;共2027个整式.归纳可得,以上整式串每六次一循环，每6个整式的整式之和为m + n + n - m - m - n - n + m=0,
∵2027÷6=337……5,
∴第2025次操作后得到的整式的和为m + n + n - m - m - n=n - m.关键提醒 本题考查的是合并同类项,代数式的规律探究,掌握探究的方法,总结概括规律并灵活运用是解本题的关键.
