1.(2024·东莞模拟)下列计算中正确的是(
C
).
A.$3a + 2b = 5ab$
B.$5xy - 4xy = 1$
C.$3x^2 - (-x^2) = 4x^2$
D.$-6ab^2 + 3ab^2 = -9ab^2$
答案：C
解析：
A. $3a$与$2b$不是同类项，不能合并，故A错误；
B. $5xy - 4xy = xy$，故B错误；
C. $3x^2 - (-x^2) = 3x^2 + x^2 = 4x^2$，故C正确；
D. $-6ab^2 + 3ab^2 = -3ab^2$，故D错误。
C
2. 在多项式$2x^2 - 5kxy + 3y^2 + 10xy - 6$中,不含$xy$项,则$k=$
2
.
答案：2
解析：
$2x^2 - 5kxy + 3y^2 + 10xy - 6 = 2x^2 + (10 - 5k)xy + 3y^2 - 6$，因为不含$xy$项，所以$10 - 5k = 0$，解得$k = 2$。
2
3.(教材P89例5·变式)先化简,再求值：
(1)$-3x^2 - 2x + 5x^2 + 1 + x$,其中$x = 1$；
(2)$\frac{1}{2}x - 2x + \frac{2}{3}y^2 + \frac{1}{3}y^2 + 2$,其中$x = 1$,$y = 2$.
答案：
(1)原式=(-3+5)x²+(-2+1)x+1=2x²-x+1.当x=1时,原式=2.
(2)原式=-$\frac{3}{2}$x+y²+2,当x=1,y=2时,原式=-$\frac{3}{2}$×1+2²+2=$\frac{9}{2}$.
4. 计算：$x^5y^3 - \frac{1}{3}x^5y^3 = $
$\frac{2}{3}x^{5}y^{3}$
.
答案：$\frac{2}{3}x^{5}y^{3}$ [解析]$x^{5}y^{3}-\frac{1}{3}x^{5}y^{3}=(1-\frac{1}{3})x^{5}y^{3}=\frac{2}{3}x^{5}y^{3}$.
5. 已知关于$x$,$y的多项式mx^2 + 4xy - 7x - 3x^2 + 2nxy - 5y$合并后不含有二次项,则$n^2 + mn = $
-2
.
答案：-2 [解析]原式=(m-3)x²+(4+2n)xy-7x-5y.因为原多项式合并后不含二次项,所以m-3=0,4+2n=0,解得m=3,n=-2,所以n²+mn=(-2)²+3×(-2)=-2.
解析：
原式$=(m-3)x^{2}+(4+2n)xy-7x-5y$。
因为合并后不含二次项，所以$m-3=0$，$4+2n=0$。
解得$m=3$，$n=-2$。
则$n^{2}+mn=(-2)^{2}+3×(-2)=4-6=-2$。
$-2$
6. 整体思想 [阅读理解] “整体思想”是一种非常重要的数学思想方法,在多项式的化简、求值中应用极其广泛.例如：我们把$(a - b)$看成一个整体,则$4(a - b) - 2(a - b) + (a - b) = (4 - 2 + 1)(a - b) = 3(a - b)$.
[尝试应用]
(1)化简$4(a + b) + 2(a + b) - 3(a + b)$的结果为
3(a+b)
；(直接写结果)
(2)先化简,再求值：$6(x + y)^2 + 5(x + y) - (x + y) - 3(x + y)^2$,其中$x + y = -2$；
原式=(6-3)(x+y)²+(5-1)(x+y)=3(x+y)²+4(x+y),当x+y=-2时,原式=3×(-2)²+4×(-2)=3×4-8=12-8=4.
[拓展探索]
(3)若$x^2 - 2y = 4$,则$-3(x^2 - 2y) + 10$的值为
-2
.(直接写结果)
答案：
(1)3(a+b)
(2)原式=(6-3)(x+y)²+(5-1)(x+y)=3(x+y)²+4(x+y),当x+y=-2时,原式=3×(-2)²+4×(-2)=3×4-8=12-8=4.
(3)-2
7.(2024·山东德州天衢新区期中)我们用$\overline{xyz}$表示一个三位数,其中$x$表示百位上的数,$y$表示十位上的数,$z$表示个位上的数,即$\overline{xyz} = 100x + 10y + z$.
(1)说明$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}一定是111$的倍数；
(2)①写出一组$a$,$b$,$c$的取值,使$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}能被7$整除,这组值可以是$a=$
1
,$b=$
2
,$c=$
4
；
②若$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}能被7$整除,则$a$,$b$,$c$三个数必须满足的数量关系是
$a+b+c=7$或$a+b+c=14$或$a+b+c=21$
.
答案：
(1)
∵$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111a+111b+111c=111(a+b+c),
∴$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$一定是111的倍数.
(2)①1 2 4(答案不唯一) [解析]
∵$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$=111(a+b+c),而7不是111的因数,所以a+b+c一定是7的因数,令a=1,b=2,则c=4(答案不唯一).②a+b+c=7或a+b+c=14或a+b+c=21[解析]
∵$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$能被7整除,所以a+b+c一定是7的因数,而a,b,c都为1至9的正整数,则a,b,c三个数必须满足的数量关系为a+b+c=7或a+b+c=14或a+b+c=21.
