10. (2024·兰州中考)若∠A= 80°,则∠A 的补角是(
A
).
A.100°
B.80°
C.40°
D.10°
答案：A
解析：
因为互为补角的两个角的和为$180^{\circ}$，$\angle A = 80^{\circ}$，所以$\angle A$的补角是$180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$。
A
11. 如图,∠α＞∠β,则∠β 与$\frac{1}{2}$(∠α-∠β)的关系为
互余
.
答案：互余 [解析]由题意，得∠α+∠β=180°,
∴∠β+$\frac{1}{2}$(∠α−∠β)=$\frac{1}{2}$(∠α+∠β)=$\frac{1}{2}$×180°=90°,即∠β与$\frac{1}{2}$(∠α−∠β)互余.
12. 如图,观察图形.
(1)说明∠AOC 和∠BOD 之间的关系,说明∠AOE 和∠BOC 之间的关系；
(2)指出其中的锐角、直角、钝角和平角.
答案：
(1)
∵∠AOC=90°+∠BOC,∠BOD=90°+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOD.
∵∠AOE=90°−∠BOE,∠BOC=90°−∠BOE,
∴∠AOE=∠BOC.
(2)锐角:∠BOC,∠BOE,∠AOE;直角:∠COD,∠COE,∠AOB;钝角:∠BOD,∠AOC,∠AOD;平角:∠DOE.
13. 方程思想 (2025·连云港海州区期末改编)如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,∠DOF= ∠BOF,∠AOC= ∠BOD,∠EOF= 90°.
(1)若∠BOE 比∠DOF 大 38°,求∠DOF 的度数；
(2)试问∠COE 与∠BOE 之间有怎样的大小关系？请说明理由；
(3)∠BOE 的补角是______.
(1)
设∠BOF=a,则∠DOF=∠BOF=a,∵∠BOE比∠DOF大38°,∴∠BOE−38°=∠DOF,即∠BOE−38°=a.又∠BOE=90°−∠BOF=90°−a,∴90°−a−38°=a,解得a=26°,∴∠DOF=26°.
(2)
∠COE=∠BOE,理由如下:∵∠COE=180°−∠DOE=180°−(90°+∠DOF)=90°−∠DOF,∠DOF=∠BOF,∴∠COE=90°−∠BOF.∵∠EOF=90°,∴∠BOE=90°−∠BOF,∴∠COE=∠BOE.
(3)
∠AOE和∠DOE
答案：
(1)设∠BOF=a,则∠DOF=∠BOF=a,
∵∠BOE比∠DOF大38°,
∴∠BOE−38°=∠DOF,即∠BOE−38°=a.又∠BOE=90°−∠BOF=90°−a,
∴90°−a−38°=a,解得a=26°,
∴∠DOF=26°.
(2)∠COE=∠BOE,理由如下:
∵∠COE=180°−∠DOE=180°−(90°+∠DOF)=90°−∠DOF,∠DOF=∠BOF,
∴∠COE=90°−∠BOF.
∵∠EOF=90°,
∴∠BOE=90°−∠BOF,
∴∠COE=∠BOE.
(3)∠AOE和∠DOE
14. 分类讨论思想 教材 P165“活动”·变式 (2024·四川南充期末)[数学之美]三角尺中的数学.
(1)如图(1),将两块直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起,∠ACD= ∠ECB= 90°.若∠ECD= 35°,则∠ACB= ______；若∠ACB= 140°,则∠ECD= ______；请直接写出∠ACB 与∠ECD 的数量关系______；
(2)如图(2),若两个同样的直角三角尺顶点重合如图放置,∠DAC= ∠GAF= 60°,请猜想∠GAC 与∠DAF 的数量关系并说明理由；
(3)如图(3),已知点 O 为直线 AB 上一点,OC 在直线 AB 上方,∠AOC= 60°,三角尺(其中∠MON= 90°)绕点 O 旋转一周的过程中,写出∠COM 与∠AON 可能存在的数量关系,并说明理由.
答案：(1)145° 40° ∠ACB+∠ECD=180°[解析]
∵∠ACB=∠ACD+∠BCE−∠ECD,∠ACD=∠ECB=90°,
∴当∠ECD=35°时,∠ACB=180°−35°=145°;当∠ACB=140°时,∠ECD=∠ACD+∠BCE−∠ACB=40°.
∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE=180°.
(2)∠GAC+∠DAF=120°.理由如下:
∵∠GAC=∠GAF+∠DAC−∠DAF,∠DAC=∠GAF=60°,
∴∠GAC+∠DAF=∠GAF+∠DAC=120°.
(3)∠COM+∠AON=150°或210°.理由如下:①当三角尺一边ON在∠AOC内部时，如图
(1)所示.
∵∠COM=∠AOC+∠MON−∠AON,∠AOC=60°,∠MON=90°,
∴∠COM+∠AON=∠AOC+∠MON=60°+90°=150°.②当三角尺一边ON不在∠AOC内部时，如图
(2)所示.
∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠COM+∠AON=360°−∠MON−∠AOC=360°−90°−60°=210°.综上所述,∠COM+∠AON=150°或210°.
