例1
计算：$3.14×4.3+31.4×0.72-0.314×15$。
分析：观察算式可以发现,三道乘法算式中的第一个乘数存在倍数关系,因此我们可以根据积不变的规律,将其中的两道乘法算式进行转化,从而得到相同的乘数,然后运用乘法分配律进行简便计算。以 $3.14$ 为相同的乘数,则需要转化第二、三道乘法算式,即 $31.4×0.72= (31.4÷10)×(0.72×10)= 3.14×7.2$,$0.314×15= (0.314×10)×(15÷10)= 3.14×1.5$。
解答：$3.14×4.3+31.4×0.72-0.314×15$
$=3.14×4.3+3.14×7.2-3.14×1.5$
$=3.14×(4.3+7.2-1.5)$
$=3.14×10$
$=31.4$
答案：解析：本题考查小数乘法分配律的简便运算。通过观察算式，发现三道乘法算式中的第一个乘数存在倍数关系，因此可以根据积不变的规律，将其中的两道乘法算式进行转化，从而得到相同的乘数，然后运用乘法分配律进行简便计算。
答案：$3.14×4.3+31.4×0.72-0.314×15$
$=3.14×4.3+3.14×7.2-3.14×1.5$
$=3.14×(4.3+7.2-1.5)$
$=3.14×10$
$=31.4$
1. 计算：$37-0.37×72.8-3.7×1.72$。
答案：原式=3.7×10-3.7×7.28-3.7×1.72=3.7×(10-7.28-1.72)=3.7×1=3.7 提示:本题中相乘的部分通过转化后都有乘数3.7,所以可以运用乘法分配律将原式转化为3.7×(10-7.28-1.72),在计算10-7.28-1.72时,又可以运用减法的性质来简便计算。
解析：
$37 - 0.37 × 72.8 - 3.7 × 1.72$
$= 3.7 × 10 - 3.7 × 7.28 - 3.7 × 1.72$
$= 3.7 × (10 - 7.28 - 1.72)$
$= 3.7 × (10 - (7.28 + 1.72))$
$= 3.7 × (10 - 9)$
$= 3.7 × 1$
$= 3.7$
2. 计算：$2.8×23.4+11.1×57.6+6.54×28$。
答案：原式=2.8×(23.4+65.4)+11.1×57.6=2.8×88.8+11.1×57.6=2.8×8×11.1+11.1×57.6=(22.4+57.6)×11.1=80×11.1=888 提示:在2.8×23.4和6.54×28中,28是2.8的10倍,所以可以进行转化,比如把6.54×28转化成65.4×2.8,运用乘法分配律先把这两部分进行简便计算,算出结果是2.8×88.8。再将2.8×88.8与11.1×57.6比较,发现88.8与11.1之间有关系,再将2.8×88.8转化成22.4×11.1,再次运用乘法分配律进行简便运算。
解析：
$2.8×23.4 + 11.1×57.6 + 6.54×28$
$=2.8×23.4 + 6.54×28 + 11.1×57.6$
$=2.8×23.4 + 65.4×2.8 + 11.1×57.6$
$=2.8×(23.4 + 65.4) + 11.1×57.6$
$=2.8×88.8 + 11.1×57.6$
$=2.8×8×11.1 + 11.1×57.6$
$=22.4×11.1 + 11.1×57.6$
$=11.1×(22.4 + 57.6)$
$=11.1×80$
$=888$
3. 运算能力 计算：$(202441-20.2441)÷(404882-40.4882)$。
答案：原式=(20.2441×10000-20.2441)÷(40.4882×10000-40.4882)=(20.2441×9999)÷(40.4882×9999)=20.2441÷40.4882=0.5 提示:首先利用积的变化规律,凑出相同的乘数,再利用乘法分配律计算小括号里的部分,最后根据商不变的性质即可求出结果。
解析：
原式$=(20.2441×10000 - 20.2441)÷(40.4882×10000 - 40.4882)$
$=20.2441×(10000 - 1)÷[40.4882×(10000 - 1)]$
$=20.2441×9999÷(40.4882×9999)$
$=20.2441÷40.4882$
$=0.5$
4. 计算：$41.2×8.1+1.1×12.5+53.7×1.9$。
答案：41.2×8.1+1.1×12.5+53.7×1.9=41.2×8.1+1.1×12.5+(41.2+12.5)×1.9=41.2×8.1+1.1×12.5+41.2×1.9+12.5×1.9=41.2×8.1+41.2×1.9+1.1×12.5+12.5×1.9=41.2×(8.1+1.9)+12.5×(1.1+1.9)=412+37.5=449.5 提示:观察发现8.1和1.9这两个数的和刚好是整数10,所以可把53.7拆成41.2与另一个数的和,再用乘法分配律就可以进行简算。
解析：
$41.2×8.1 + 1.1×12.5 + 53.7×1.9$
$=41.2×8.1 + 1.1×12.5+(41.2 + 12.5)×1.9$
$=41.2×8.1 + 1.1×12.5 + 41.2×1.9 + 12.5×1.9$
$=41.2×(8.1 + 1.9)+12.5×(1.1 + 1.9)$
$=41.2×10 + 12.5×3$
$=412 + 37.5$
$=449.5$
5. 计算：$(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(99+1.2×99)+(100+1.2×100)$。
答案：原式=(1+1.2)×1+(1+1.2)×2+(1+1.2)×3+…+(1+1.2)×99+(1+1.2)×100=(1+1.2)×(1+2+3+…+99+100)=2.2×[(1+100)×100÷2]=2.2×5050=11110 提示:将2+1.2×2转化成(1+1.2)×2,3+1.2×3转化成(1+1.2)×3……每组数都可以转化成(1+1.2)×n ,再进行简便计算。
解析：
原式=(1+1.2)×1+(1+1.2)×2+(1+1.2)×3+…+(1+1.2)×99+(1+1.2)×100
=(1+1.2)×(1+2+3+…+99+100)
=2.2×[(1+100)×100÷2]
=2.2×5050
=11110
例2
设 $A= 0.8+0.88+0.888+…+0.\underbrace{8…8}_{10个8}$,求 $A$ 的整数部分。
分析：本题可以用放缩法确定 $A$ 的整数部分。
方法一：假设题中 $10$ 个加数都等于最大的第 $10$ 个加数,则 $10$ 个数的和为第 $10$ 个加数的 $10$ 倍,是 $8.888888888$；假设题中 $10$ 个加数都等于最小的加数 $0.8$,则 $10$ 个数的和为 $0.8$ 的 $10$ 倍,是 $8$。显然 $A$ 的大小在 $8$ 和 $8.888888888$ 之间,比 $8$ 大,比 $9$ 小,所以 $A$ 的整数部分为 $8$。
方法二：直接把 $10$ 个加数扩大到 $0.9$,则和为 $9$；直接把 $10$ 个加数缩小到 $0.8$,则和为 $8$。显然 $A$ 的大小在 $8$ 和 $9$ 之间,所以 $A$ 的整数部分是 $8$。
解答：$0.8×10＜A＜0.9×10$ $A$ 的整数部分是 $8$
答案：解析：本题考查了利用放缩法确定小数和的整数部分。
我们可以通过放缩法，将每一个加数都看作与它接近的较大或较小的数，从而确定和的范围，进而确定和的整数部分。
答案：$0.8 × 10 ＜ A ＜ 0.9 × 10$，即 $8 ＜ A ＜ 9$，所以 $A$ 的整数部分是 $8$。
6. $5.5+5.65+5.665+5.6665+…+5.6666666665$ 的结果的整数部分是(
56
)。
答案：56 提示:用放缩法确定这道算式的整数部分。
解析：
该算式共有10个加数，每个加数的整数部分都是5，小数部分依次为0.5,0.65,0.665,...,0.6666666665。
整数部分总和：$5×10 = 50$
小数部分设为$S$，$S = 0.5 + 0.65 + 0.665 + \dots + 0.6666666665$
将每个小数放大：每个小数都小于0.6666666666（即$\frac{2}{3}$的近似值），10个这样的数相加，$S ＜ 0.6666666666×10 ≈ 6.666666666$
将每个小数缩小：前9个小数都大于0.5，最后一个小数是0.6666666665，$S ＞ 0.5×9 + 0.6666666665 = 4.5 + 0.6666666665 = 5.1666666665$
所以$50 + 5.1666666665 ＜$原式$＜ 50 + 6.666666666$，即$55.1666666665 ＜$原式$＜ 56.666666666$
进一步精确计算小数部分：
$0.5 + 0.65 = 1.15$
$1.15 + 0.665 = 1.815$
$1.815 + 0.6665 = 2.4815$
$2.4815 + 0.66665 = 3.14815$
$3.14815 + 0.666665 = 3.814815$
$3.814815 + 0.6666665 = 4.4814815$
$4.4814815 + 0.66666665 = 5.14814815$
$5.14814815 + 0.666666665 = 5.814814815$
$5.814814815 + 0.6666666665 = 6.4814814815$
所以原式$= 50 + 6.4814814815 = 56.4814814815$，其整数部分是56。
56
7. $A= 0.49×5+0.48×5+0.47×5+…+0.41×5$,$A$ 的整数部分是(
20
)。
答案：20 提示:根据乘法分配律将原式写成A=(0.49+0.48+…+0.41)×5=(0.49+0.41)×9÷2×5=20.25,所以A的整数部分是20。
解析：
$A=(0.49+0.48+\cdots+0.41)×5$
$=(0.49+0.41)×9÷2×5$
$=0.9×9÷2×5$
$=8.1÷2×5$
$=4.05×5$
$=20.25$
$A$的整数部分是$20$。
