例2 如图,梯形 $ABCD$ 中,$E$ 是腰 $AB$ 的中点,连接 $ED$、$EC$。三角形 $EDC$ 的面积是梯形 $ABCD$ 面积的(
一半
)。
将两个完全相同的梯形 $ABCD$ 拼成平行四边形 $ABA'B'$,$E$、$E'$ 分别是边 $AB$、$A'B'$ 的中点,连接 $EE'$,四边形 $AEE'B'$ 和四边形 $EBA'E'$ 都是平行四边形。易知四边形 $DECE'$ 的面积是平行四边形 $ABA'B'$ 面积的(
一半
),三角形 $EDC$ 的面积是梯形 $ABCD$ 面积的(
一半
)。
解析：
设梯形$ABCD$的上底为$AD = a$，下底为$BC = b$，高为$h$，则梯形面积$S_{梯形ABCD}=\frac{(a + b)h}{2}$。
过$E$作$EF \perp AD$交$AD$于$F$，延长$FE$交$BC$于$G$。因为$E$是$AB$中点，$AD// BC$，所以$EF = EG=\frac{h}{2}$。
$S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}AD \cdot EF=\frac{1}{2}a \cdot \frac{h}{2}=\frac{ah}{4}$，$S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}BC \cdot EG=\frac{1}{2}b \cdot \frac{h}{2}=\frac{bh}{4}$。
$S_{\triangle EDC}=S_{梯形ABCD}-S_{\triangle AED}-S_{\triangle BEC}=\frac{(a + b)h}{2}-\frac{ah}{4}-\frac{bh}{4}=\frac{(a + b)h}{4}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}$。
一半
