1. 若$∠A$,$∠B$的两边分别垂直,且$∠A比∠B$的2倍少$30^{\circ}$,则$∠B$的度数为 ( )
A.$30^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$30^{\circ}或110^{\circ}$
D.$30^{\circ}或70^{\circ}$
答案：D 点拨:设∠B=x°,如答图①,当这两个角相等时，有x=2x−30,解得x=30,故∠B=30°;如答图②,当这两个角互补时,x+2x−30=180,解得x=70,故∠B=70°.综上,∠B的度数为30°或70°
2. 如图,分别将三角尺$ABC与ADE的边AB与AE放置在直线l$上,边$AC与AD$所在直线重合。现将三角尺$ABC绕点A$逆时针旋转,当$AB与AE$第一次重合时,三角尺$ABC$停止运动。在旋转过程中,下列说法不正确的是 ( )
A.当$AB与DE$垂直时,$∠BAE = 150^{\circ}$
B.当$BC与DE$平行时,$∠BAE = 120^{\circ}$
C.当$AC与DE$垂直时,$∠BAE = 60^{\circ}$
D.当$BC与AE$平行时,$∠BAE = 45^{\circ}$
答案：B 点拨:当AB与DE垂直时,如答图①,延长BA交DE于点F.由题意,知∠AFE=90°,所以∠EAF=180°−∠AFE−∠AED=30°.所以∠BAE=180°−∠EAF=150°.当BC与DE平行时,如答图②,过点A 作FQ//BC,则FQ//DE,所以∠QAE=∠AED=60°,∠BAQ=∠B=45°,所以∠BAE=∠QAE+∠BAQ=105°.当AC与DE垂直时,如答图③,延长CA交DE于点F,所以∠CAB=∠AFE=90°,所以AB//DE,所以∠BAE=∠AED=60°.当BC与AE平行时,如答图④,所以∠BAE=∠B=45°.
3. 平面上不重合的四条直线,可能产生交点的个数为______。
答案：0,1,3,4,5,6 点拨:分类讨论如下:
如答图①，当四条直线平行时，无交点;
如答图②,当三条直线平行，另一条直线与这三条直线不平行时，有3个交点;
如答图③，当直线两两平行时，有4个交点;
如答图④，当有两条直线平行，而另两条直线不平行且交点不在平行线上时，有5个交点;
如答图⑤，当四条直线交于一点时，只有1个交点;
如答图⑥，当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点;
如答图⑦，当有两条直线平行，而另两条直线不平行并且交点在平行线上时，有3个交点;
如答图⑧，当三条直线交于一点，另一条直线与这三条直线分别相交时，有4个交点.
4. 已知直线$AB与直线CD相交于点O$,过点$O作OE⊥CD$。
(1)如图①,若$∠AOE = 2∠AOC$,求$∠BOE$的度数；
(2)如图②,过点$O画直线FG$,满足射线$OF在∠EOD$内部,且使$∠AOC = 2∠EOF$,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出与$∠EOF$互余的角。
答案：解:(1)因为OE⊥CD,所以∠COE=∠DOE=90°,
所以∠AOC+∠AOE=90°.
因为∠AOE=2∠AOC,
所以∠AOC+2∠AOC=90°,解得∠AOC=30°,
所以∠AOE=∠COE−∠AOC=90°−30°=60°.
因为∠AOE+∠BOE=180°,
所以∠BOE=180°−∠AOE=180°−60°=120°.
(2)因为OE⊥CD,所以∠DOE=90°,
所以∠DOF+∠EOF=90°.
因为∠COG=∠DOF,所以∠COG+∠EOF=90°.
因为∠AOE+∠AOC=90°,∠AOC=2∠EOF,
所以∠AOE+2∠EOF=90°,
所以∠AOF+∠EOF=90°.
因为∠BOG=∠AOF,所以∠BOG+∠EOF=90°,
所以与∠EOF互余的角有∠FOD,∠COG,∠BOG,∠AOF.
