1. 如图,在数轴上有 A,B,C,D 四个整数点(即各点均表示整数),且 $ 2AB = BC = 3CD $。若 A,D 两点表示的数分别为 -5 和 6,且 AC 的中点为 E,BD 的中点为 M,B,C 两点之间距点 B 的距离为 $ \frac{1}{3}BC $ 的点为 N,则该数轴的原点为( )
A.点 E
B.点 B
C.点 M
D.点 N
答案：D 点拨:如答图所示,因为2AB=BC=3CD,所以设CD=x,则BC=3x,AB=1.5x.
因为A,D两点表示的数分别为−5和6,
所以x+3x+1.5x=11,解得x=2,
故CD=2,BC=6,AB=3.
因为AC的中点为E,BD的中点为M,
所以AE=EC=4.5,BM=MD=4,则点E对应的数字是−0.5，点M对应的数字为2.
因为BC之间距点B的距离为$\frac{1}{3}$BC的点为N,
所以BN=$\frac{1}{3}$BC=2,故AN=5,则点N正好是原点.
2. 如图,数轴上的点 O 和点 A 分别表示 0 和 10,P 是线段 OA 上一动点. 点 P 沿 $ O \to A \to O $ 以每秒 2 个单位长度的速度往返运动 1 次,B 是线段 OA 的中点,设点 P 运动的时间为 t 秒 $ (0 ＜ t \leq 10) $. 点 P 在运动过程中,当 $ PB = 2 $ 时,t 的值为
1.5或3.5或6.5或8.5
。
答案：1.5或3.5或6.5或8.5
解析：
解：
∵点O表示0，点A表示10，B是OA中点，∴点B表示5。
点P运动速度为2单位/秒，运动时间t秒（0＜t≤10），分两种情况：
情况1：P沿O→A运动（0＜t≤5）
此时P表示的数为2t，PB=|2t-5|=2。
∴2t-5=2或2t-5=-2，解得t=3.5或t=1.5。
情况2：P沿A→O运动（5＜t≤10）
此时P表示的数为10-2(t-5)=20-2t，PB=|20-2t-5|=|15-2t|=2。
∴15-2t=2或15-2t=-2，解得t=6.5或t=8.5。
综上，t的值为1.5或3.5或6.5或8.5。
答案：1.5或3.5或6.5或8.5
3. 如图,数轴上 A,B 两点对应的数分别为 -2,4,P 为数轴上一动点,其对应的数为 x.
(1)若点 P 到点 A,点 B 的距离相等,求点 P 对应的数.
(2)数轴上是否存在点 P,使点 P 到点 A,点 B 的距离之和为 7？若存在,请直接写出 x 的值；若不存在,请说明理由.
(3)若点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从原点 O 向右运动,同时点 A 以每秒 5 个单位长度的速度向左运动,点 B 以每秒 20 个单位长度的速度向右运动,在运动过程中,M,N 分别是 AP,OB 的中点,问 $ \frac{AB - OP}{MN} $ 的值是否发生变化？请说明理由.
答案：(1)若点P到点A,点B的距离相等，则x=$\frac{−2+4}{2}$=1,故点P对应的数为1.
(2)存在.若点P到点A，点B的距离之和为7,则有|x+2|+|x−4|=7,解得x=−2.5或x=4.5.
(3)$\frac{AB−OP}{MN}$的值不发生变化,理由如下:
设运动时间为t秒,则OP=t,OA=5t+2,OB=20t+4,AB=OA+OB=25t+6,AP=OA+OP=6t+2,AM=$\frac{1}{2}$AP=1+3t,OM=OA−AM=5t+2−(1+3t)=2t+1,ON=$\frac{1}{2}$OB=10t+2,所以MN=OM+ON=12t+3,故$\frac{AB−OP}{MN}$=$\frac{25t+6−t}{12t+3}$=2,即$\frac{AB−OP}{MN}$的值不发生变化.
