1. 如图,把一根绳子对折成线段 AB,从点 P 处把绳子剪断,已知 $ PB = 2PA $,若剪断后的各段绳子中最长的一段为 40 cm,则绳子的原长为(
D
)
A.30 cm
B.60 cm
C.120 cm
D.60 cm 或 120 cm
答案：D 点拨:设AP=x cm,则BP=2x cm,当含有线段AP 的绳子最长时,x+x=40,解得x=20,则绳子的原长为2(x+2x)=6x=120(cm);当含有线段BP的绳子最长时,2x+2x=40,解得x=10,则绳子的原长为2(x+2x)=6x=60(cm),故绳子的原长为60 cm或120 cm
2. 如图,在长方形 ABCD 中,$ AB = 8 \text{ cm} $,$ BC = 6 \text{ cm} $,点 P 从点 A 出发,以 1 cm/s 的速度沿 $ A \to B \to C $ 运动,最终到达点 C,在点 P 运动了 8 s 后,点 Q 开始以 2 cm/s 的速度从 D 运动到点 A,在运动过程中,设点 P 运动的时间为 $ t \text{ s} $,当 $ \triangle APQ $ 的面积为 $ 4 \text{ cm}^2 $ 时,t 的值为______。
答案：$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$ 点拨:因为在长方形ABCD中,AD=BC=6 cm,∠BAD=90°,所以分两种情况讨论如下:
如答图①,当点P在AB上时，点Q在点D处，由题意,得$\frac{1}{2}×6t=4$,解得$t=\frac{4}{3}$;如答图②,当点P在BC上时，由题意，得$\frac{1}{2}×AQ×AB=4$,即$\frac{1}{2}×AQ×8=4$,解得AQ=1 cm,则DQ=5 cm,所以2(t - 8)=5,解得$t=\frac{21}{2}$.综上，当△APQ 的面积为4 cm²时,t的值为$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$.
3. 如图,在长方形 ABCD 中,$ AB = 12 \text{ cm} $,$ BC = 6 \text{ cm} $,动点 P 沿 AB 边从点 A 开始,向点 B 以 2 cm/s 的速度运动；同时,动点 Q 沿 DA 边从点 D 开始,向点 A 以 1 cm/s 的速度运动,设运动时间为 $ t \text{ s} $。
(1)当 t 为何值时,$ AQ = AP $？
(2)当 t 为何值时,$ AQ + AP $ 等于长方形周长的 $ \frac{1}{4} $？
(3)如果点 P 到达点 B 后沿 BC 方向继续运动,点 Q 到达点 A 后沿 AB 方向继续运动,当点 P 到达点 C 时,求点 Q 的位置。
答案：解:(1)由题意,得2t=6 - t,解得t=2.
所以当t=2时,AQ=AP.
(2)由题意,得$2t+6 - t=\frac{1}{4}×(12+6)×2$,解得t=3.
所以当t=3时，AQ+AP等于长方形周长的$\frac{1}{4}$.
(3)当点P到达点C时，共运动(12+6)÷2=9(s),此时点Q 在线段AB上,且AQ=1×9 - 6=3(cm).
