1. 规定：用$\{ m\}表示大于m$的最小整数,例如$\{ \frac {5}{2}\} = 3,\{ 4\} = 5,\{ -1.5\} = -1$等；用$[m]表示不大于m$的最大整数,例如$[\frac {7}{2}]= 3,[2]= 2,[-3.2]= -4$。如果整数$x满足关系式3\{ x\} +2[x]= 23$,那么$x$的值为(
D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D 点拨:因为x为整数,所以{x}=x+1,[x]=x,所以原方程可化为3(x+1)+2x=23,解得x=4.
2. 定义一种新运算“$\odot$”,观察下列各式：
$1\odot 3= 1+4×3= 13;3\odot (-1)= 3+4×(-1)= -1;(-2)\odot 5= -2+4×5= 18;$
$(-5)\odot (-4)= -5+4×(-4)= -21.$
(1)请你想一想：$a\odot b= $
$a+4b$
；
(2)若$(-2a)\odot b= 4$,请计算$(3a-2b)\odot (-2a+3b)$的值；
解:已知等式利用题中的新定义得-2a+4b=4,即a-2b=-2,则原式=3a-2b+4(-2a+3b)=3a-2b-8a+12b=-5a+10b=-5(a-2b)=-5×(-2)=10.
(3)若满足等式$(kx+5)\odot (x-1)= 4$($k$为整数)的$x$为正整数,则$k$的值为
-3或-1
。
答案：(1)a+4b (2)解:已知等式利用题中的新定义得-2a+4b=4,即a-2b=-2,则原式=3a-2b+4(-2a+3b)=3a-2b-8a+12b=-5a+10b=-5(a-2b)=-5×(-2)=10. (3)-3或-1 点拨:根据题中的新定义得kx+5+4(x-1)=4,去括号,得kx+5+4x-4=4,解得x=3/(k+4).由x为正整数,得k+4=1或k+4=3,解得k=-3或k=-1.
解析：
(1)$a + 4b$
(2)解：由新定义得$(-2a)\odot b=-2a + 4b$，已知$(-2a)\odot b = 4$，则$-2a + 4b=4$，化简得$a - 2b=-2$。
$(3a - 2b)\odot(-2a + 3b)=3a - 2b + 4(-2a + 3b)=3a - 2b - 8a + 12b=-5a + 10b=-5(a - 2b)$，将$a - 2b=-2$代入，得$-5×(-2)=10$。
(3)$-3$或$-1$
3. 定义：对于一个有理数$x$,我们把$[x]称作x$的对称数。
若$x≥0$,则$[x]= x-2$；若$x＜0$,则$[x]= x+2$。例：$[1]= 1-2= -1,[-2]= -2+2= 0$。
(1)求$[\frac {3}{2}],[-1]$的值；
(2)已知有理数$a＞0,b＜0$,且满足$[a]= [b]$,试求代数式$(b-a)^{3}-2a+2b$的值；
(3)解方程：$[2x]+[x+1]= 1$。
答案：(1)[3/2]=3/2-2=-1/2,[-1]=-1+2=1. (2)因为a＞0,b＜0,[a]=[b],所以a-2=b+2,所以a-b=4,故(b-a)³-2a+2b=(b-a)³-2(a-b)=(-4)³-8=-72. (3)当x≥0时,方程为2x-2+x+1-2=1,解得x=4/3;当-1≤x＜0时,方程为2x+2+x+1-2=1,解得x=0(舍去);当x＜-1时,方程为2x+2+x+1+2=1,解得x=-4/3.故方程的解为x=±4/3.
解析：
(1)解：因为$\frac{3}{2} \geq 0$，所以$[\frac{3}{2}] = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$；因为$-1 ＜ 0$，所以$[-1] = -1 + 2 = 1$。
(2)解：因为$a ＞ 0$，$b ＜ 0$，且$[a] = [b]$，所以$a - 2 = b + 2$，即$a - b = 4$，则$b - a = -4$。所以$(b - a)^3 - 2a + 2b = (-4)^3 - 2(a - b) = -64 - 2×4 = -64 - 8 = -72$。
(3)解：
当$x \geq 0$时，$2x \geq 0$，$x + 1 \geq 1 ＞ 0$，方程为$(2x - 2) + (x + 1 - 2) = 1$，即$2x - 2 + x - 1 = 1$，$3x - 3 = 1$，$3x = 4$，解得$x = \frac{4}{3}$；
当$-1 \leq x ＜ 0$时，$2x ＜ 0$，$x + 1 \geq 0$，方程为$(2x + 2) + (x + 1 - 2) = 1$，即$2x + 2 + x - 1 = 1$，$3x + 1 = 1$，$3x = 0$，解得$x = 0$（舍去）；
当$x ＜ -1$时，$2x ＜ 0$，$x + 1 ＜ 0$，方程为$(2x + 2) + (x + 1 + 2) = 1$，即$2x + 2 + x + 3 = 1$，$3x + 5 = 1$，$3x = -4$，解得$x = -\frac{4}{3}$。
综上，方程的解为$x = \pm \frac{4}{3}$。
