1. 方程$|2x - 1|+|x - 2|= |x + 1|$的解为 (
D
)
A.$x = 2$
B.$x= \frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}\lt x\lt2$
D.$\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant2$
答案：D 点拨:当x＞2时,原方程可化为2x-1+x-2=x+1,解得x=2(舍去);当$\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant 2$时,原方程可化为2x-1+2-x=x+1,即x+1=x+1,可知在$\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant 2$的范围内x取任何值都可以;当$-1\leqslant x＜\frac{1}{2}$时,原方程可化为1-2x+2-x=x+1,解得$x=\frac{1}{2}$(舍去);当x＜-1时,原方程可化为1-2x+2-x=-x-1,解得x=2(舍去).综上,原方程的解为$\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant 2$.
2. 解方程：$|2 - x|-3|x + 1|= x - 9$。
答案：解:当x＜-1时,原方程可化为2-x+3(x+1)=x-9,解得x=-14;当$-1\leqslant x＜2$时,原方程可化为2-x-3(x+1)=x-9,解得$x=\frac{8}{5}$;当x≥2时,原方程可化为x-2-3(x+1)=x-9,解得$x=\frac{4}{3}$(舍去).综上,原方程的解为x=-14或$x=\frac{8}{5}$.
3. 根据绝对值的定义,若$|x| = 4$,则$x = 4或x = - 4$；若$|y| = a(a\geqslant0)$,则$y= \pm a$。我们可以根据这样的方法,解一些简单的绝对值方程,例如：$|2x + 4| = 5$。
解：方程$|2x + 4| = 5可化为2x + 4 = 5或2x + 4 = - 5$。
当$2x + 4 = 5$时,$2x = 1$,解得$x= \frac{1}{2}$；
当$2x + 4 = - 5$时,$2x = - 9$,解得$x= -\frac{9}{2}$。
故方程$|2x + 4| = 5的解为x= \frac{1}{2}或x= -\frac{9}{2}$。
(1)解方程：$|3x - 2| = 4$；
解:方程|3x-2|=4可化为3x-2=4或3x-2=-4,解得x=2或$x=-\frac{2}{3}$.故方程|3x-2|=4的解为x=2或$x=-\frac{2}{3}$.
(2)已知$|a + b + 4| = 16$,求$|a + b|$的值；
解:已知|a+b+4|=16,则a+b+4=16或a+b+4=-16,解得a+b=12或a+b=-20.所以|a+b|的值为12或20.
(3)在(2)的条件下,若$a$,$b$都是整数,则$ab$的最大值是______。
100
答案：(1)解:方程|3x-2|=4可化为3x-2=4或3x-2=-4,解得x=2或$x=-\frac{2}{3}$.故方程|3x-2|=4的解为x=2或$x=-\frac{2}{3}$.(2)解:已知|a+b+4|=16,则a+b+4=16或a+b+4=-16,解得a+b=12或a+b=-20.所以|a+b|的值为12或20.(3)100 点拨:由(2)可知,a+b=12或a+b=-20.若a,b都是整数,根据有理数乘法法则可知,当a=-10,b=-10时,ab取得最大值,最大值为100.
解析：
(1)解：方程|3x-2|=4可化为3x-2=4或3x-2=-4。
当3x-2=4时，3x=6，解得x=2；
当3x-2=-4时，3x=-2，解得x=-$\frac{2}{3}$。
故方程|3x-2|=4的解为x=2或x=-$\frac{2}{3}$。
(2)解：已知|a+b+4|=16，则a+b+4=16或a+b+4=-16。
当a+b+4=16时，a+b=12；
当a+b+4=-16时，a+b=-20。
所以|a+b|的值为12或20。
(3)100
