1. 若方程$\frac {1 - 2x}{6} + \frac {x + 1}{3} = 1 - \frac {2x - 1}{4}与关于x的方程x + \frac {6x - a}{3} = \frac {a}{6} - 3x$的解相同,则$a$的值为(
D
)
A.10
B.12
C.16
D.18
答案：D
解析：
解：解方程$\frac{1 - 2x}{6} + \frac{x + 1}{3} = 1 - \frac{2x - 1}{4}$
去分母，得$2(1 - 2x) + 4(x + 1) = 12 - 3(2x - 1)$
去括号，得$2 - 4x + 4x + 4 = 12 - 6x + 3$
移项、合并同类项，得$6x = 9$
解得$x = \frac{3}{2}$
将$x = \frac{3}{2}$代入方程$x + \frac{6x - a}{3} = \frac{a}{6} - 3x$
得$\frac{3}{2} + \frac{6×\frac{3}{2} - a}{3} = \frac{a}{6} - 3×\frac{3}{2}$
化简，得$\frac{3}{2} + \frac{9 - a}{3} = \frac{a}{6} - \frac{9}{2}$
去分母，得$9 + 2(9 - a) = a - 27$
去括号，得$9 + 18 - 2a = a - 27$
移项、合并同类项，得$-3a = -54$
解得$a = 18$
D
2. 已知关于$x的方程\frac {x + a}{18} - \frac {1 - x}{12} = 1$.
(1) 若方程与关于$x的方程2[x - 2(x - \frac {a}{4})] = 3x$有相同的解,则$a$的值是
13
；
(2) 若方程的解是正整数,则正整数$a$的值是
2 或 7 或 12 或 17
.
答案：(1)13 点拨:解方程$\frac{x+a}{18}-\frac{1-x}{12}=1$,得$x=\frac{39-2a}{5}$;解方程$2\left[x-2\left(x-\frac{a}{4}\right)\right]=3x$,得$x=\frac{a}{5}$.因为它们是同解方程,所以$\frac{39-2a}{5}=\frac{a}{5}$,解得$a=13$. (2)2 或 7 或 12 或 17 点拨:因为方程的解是正整数,所以$\frac{39-2a}{5}$是正整数.又因为$a$是正整数,所以当$a=2$时,$x=7$;当$a=7$时,$x=5$;当$a=12$时,$x=3$;当$a=17$时,$x=1$.
解析：
(1)
解：解方程$\frac{x + a}{18} - \frac{1 - x}{12} = 1$
去分母，得$2(x + a) - 3(1 - x) = 36$
去括号，得$2x + 2a - 3 + 3x = 36$
移项合并同类项，得$5x = 39 - 2a$
系数化为1，得$x = \frac{39 - 2a}{5}$
解方程$2\left[x - 2\left(x - \frac{a}{4}\right)\right] = 3x$
去括号，得$2\left[x - 2x + \frac{a}{2}\right] = 3x$
即$2\left[-x + \frac{a}{2}\right] = 3x$
再去括号，得$-2x + a = 3x$
移项合并同类项，得$5x = a$
系数化为1，得$x = \frac{a}{5}$
因为两方程同解，所以$\frac{39 - 2a}{5} = \frac{a}{5}$
解得$a = 13$
(2)
解：由(1)知方程$\frac{x + a}{18} - \frac{1 - x}{12} = 1$的解为$x = \frac{39 - 2a}{5}$
因为方程的解是正整数，$a$是正整数
所以$\frac{39 - 2a}{5}$是正整数，设$\frac{39 - 2a}{5} = k$（$k$为正整数）
则$39 - 2a = 5k$，$2a = 39 - 5k$，$a = \frac{39 - 5k}{2}$
因为$a$是正整数，所以$39 - 5k$是正偶数
当$k = 1$时，$a = \frac{39 - 5×1}{2} = 17$
当$k = 3$时，$a = \frac{39 - 5×3}{2} = 12$
当$k = 5$时，$a = \frac{39 - 5×5}{2} = 7$
当$k = 7$时，$a = \frac{39 - 5×7}{2} = 2$
当$k = 9$时，$a = \frac{39 - 5×9}{2} = -3$（不符合正整数，舍去）
所以正整数$a$的值是2或7或12或17
答案：(1)13；(2)2或7或12或17
3. 定义：如果两个一元一次方程的解的和为 10,我们就称这两个方程为“美满方程”. 例如：方程$2x = 4和y - 8 = 0$为“美满方程”.
(1) 若关于$x的方程2x - m = 0与方程4y - 2 = y + 10$是“美满方程”,则$m = $
12
；
(2) 已知一对“美满方程”的两个解的差为 - 2,若其中一个解为$n$,求$n$的值；
解:因为“美满方程”两个解的和为 10,其中一个解为$n$,所以另一个解为$10-n$.因为一对“美满方程”的两个解的差为-2,所以$n-(10-n)=-2$或$10-n-n=-2$,解得$n=4$或$n=6$.
(3) 已知无论$m$取任何有理数,关于$x的方程\frac {3x + 2ma}{2} = \frac {b}{3} - m$($a$,$b$为常数)与方程$-y + 1 = 2y + 7$都是“美满方程”,求$a^b$的值.
解:解方程$-y+1=2y+7$,得$y=-2$,从而由“美满方程”的定义知方程$\frac{3x+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$的解为$x=12$,于是$\frac{36+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$,化简,得$(6a+6)m=2b-108$.因为$m$取任何有理数上式都成立,所以$6a+6=0$且$2b-108=0$,解得$a=-1,b=54$,所以$a^b=(-1)^{54}=1$.
答案：(1)12 (2)解:因为“美满方程”两个解的和为 10,其中一个解为$n$,所以另一个解为$10-n$.因为一对“美满方程”的两个解的差为-2,所以$n-(10-n)=-2$或$10-n-n=-2$,解得$n=4$或$n=6$. (3)解:解方程$-y+1=2y+7$,得$y=-2$,从而由“美满方程”的定义知方程$\frac{3x+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$的解为$x=12$,于是$\frac{36+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$,化简,得$(6a+6)m=2b-108$.因为$m$取任何有理数上式都成立,所以$6a+6=0$且$2b-108=0$,解得$a=-1,b=54$,所以$a^b=(-1)^{54}=1$.
解析：
(1)12
(2)解：因为“美满方程”两个解的和为10，其中一个解为$n$，所以另一个解为$10 - n$。因为两个解的差为$-2$，所以$n-(10 - n)=-2$或$10 - n - n=-2$。
当$n-(10 - n)=-2$时，$2n - 10=-2$，$2n=8$，解得$n = 4$；
当$10 - n - n=-2$时，$10 - 2n=-2$，$-2n=-12$，解得$n = 6$。
综上，$n=4$或$n = 6$。
(3)解：解方程$-y + 1=2y + 7$，$-3y=6$，得$y=-2$。因为两个方程为“美满方程”，所以方程$\frac{3x + 2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$的解$x$满足$x+(-2)=10$，即$x = 12$。将$x = 12$代入方程，得$\frac{3×12+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$，化简得$\frac{36 + 2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$，$18+ma=\frac{b}{3}-m$，移项得$ma + m=\frac{b}{3}-18$，$m(a + 1)=\frac{b - 54}{3}$，即$3m(a + 1)=b - 54$，$(3a + 3)m=b - 54$。因为无论$m$取任何有理数上式都成立，所以$3a + 3=0$且$b - 54=0$，解得$a=-1$，$b = 54$。所以$a^b=(-1)^{54}=1$。
