1. 我国宋朝时期的数学家杨辉,曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积,形成“三角垛”,如图画出了最上面的四层,图①有 1 颗弹珠,图②有 3 颗弹珠,图③有 6 颗弹珠,图④有 10 颗弹珠,依次类推,若用 $a_{n}$ 表示图ⓝ中的弹珠数,其中 $n = 1,2,3,…$,则 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+…+\frac{1}{a_{2025}}$ 的值为(
B
)
A.$\frac{2025}{2026}$
B.$\frac{2025}{1013}$
C.$\frac{2023}{1012}$
D.$\frac{4045}{2026}$
答案：B 点拨:由题图可知$a_{n}=1+2+3+\cdots +n=\frac {n(n+1)}{2},$则$\frac {1}{a_{1}}+\frac {1}{a_{2}}+\frac {1}{a_{3}}+\cdots +\frac {1}{a_{2025}}=\frac {2}{1×2}+\frac {2}{2×3}+\frac {2}{3×4}+\cdots +\frac {2}{2025×2026}=2(1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\cdots +\frac {1}{2025}-\frac {1}{2026})=2(1-\frac {1}{2026})=\frac {2025}{1013}.$
2. 如图,将一列数按规律排列,则第 $n$ 行最中间的数可以表示为
$n^{2}-n+1$
。(用含 $n$ 的代数式表示)
答案：$n^{2}-n+1$ 点拨:由题图可知,第一行有1个数,第二行有3个数,第三行有5个数,…,第n行有$(2n-1)$个数.每一行中间的数都是正数,都等于这一行第一个数和最后一个数绝对值和的一半,且奇数行最左边的数是这一行对应行数的平方,偶数行最右边的数等于这一行对应行数的平方的相反数,故第n行最中间的数可以表示为$\frac {n^{2}+(n-1)^{2}+1}{2}=n^{2}-n+1.$
解析：
第n行有$(2n-1)$个数。
奇数行最左边的数是$n^2$，偶数行最右边的数是$-n^2$。
第n行最中间的数为这一行第一个数和最后一个数绝对值和的一半，即$\frac{n^2 + (n-1)^2 + 1}{2} = n^2 - n + 1$。
$n^2 - n + 1$
3. 观察算式：$1^{2}= \frac{1}{6}×1×2×3$；$1^{2}+2^{2}= \frac{1}{6}×2×3×5$；$1^{2}+2^{2}+3^{2}= \frac{1}{6}×3×4×7$；…,我们称这样的式子为连等式。
(1)请写出一个式子：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=$
$\frac {1}{6}×4×5×9$
；
(2)$1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+n^{2}=$
$\frac {1}{6}n(n+1)(2n+1)$
；(用含 $n$ 的式子表示)
(3)根据你所得的规律计算：$11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}+…+18^{2}+19^{2}$。
解:原式$=(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +18^{2}+19^{2})-(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +9^{2}+10^{2})=\frac {1}{6}×19×20×39-\frac {1}{6}×10×11×21=2470-385=2085.$
答案：(1)$\frac {1}{6}×4×5×9$(2)$\frac {1}{6}n(n+1)(2n+1)$(3)解:原式$=(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +18^{2}+19^{2})-(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +9^{2}+10^{2})=\frac {1}{6}×19×20×39-\frac {1}{6}×10×11×21=2470-385=2085.$
