1. 对于任意 $a$ 和 $b$,如果满足 $\frac{a}{3}+\frac{b}{4}= \frac{a + b}{3 + 4}+\frac{2}{3×4}$,那么我们称这一对数 $a,b$ 为“友好数对”,记为 $(a,b)$。若 $(x,y)$ 是“友好数对”,则 $2x - 3[6x+(3y - 4)]= $ (
C
)
A.$-4$
B.$-3$
C.$-2$
D.$-1$
答案：1.C 点拨:因为(x,y)是"友好数对",所以$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{x+y}{3+4}+\frac{2}{3×4}$,即$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{x+y}{7}+\frac{1}{6}$.整理,得16x+9y=14,所以2x-3[6x+(3y-4)]=2x-18x-3(3y-4)=2x-18x-9y+12=-16x-9y+12=-(16x+9y)+12=-14+12=-2.
2. 用“$\oplus$”和“$\odot$”定义两种新运算,对于任意的有理数 $a,b$,都有 $a\oplus b= a + 2b$,$a\odot b= ab - 2$。
(1) 求 $(1\oplus2)\odot3$ 的值；
(2) 当 $x$ 为有理数时,化简：$(x\oplus2)-(x\odot3)$。
答案：2.解:(1)原式=(1+2×2)⊙3=5⊙3=5×3-2=13.
(2)因为x⊕2=x+4,x⊙3=3x-2,所以(x⊕2)-(x⊙3)=(x+4)-(3x-2)=x+4-3x+2=-2x+6.
3. 已知整式 $P = x^{2}+x - 1$,$Q = x^{2}-x + 1$,$R= -x^{2}+x + 1$,若一个次数不高于二次的整式可以表示为 $aP + bQ + cR$(其中 $a,b,c$ 为常数),则可以进行如下分类：
① 若 $a\neq0$,$b = c = 0$,则称该整式为“$P$ 类整式”；
② 若 $a\neq0$,$b\neq0$,$c = 0$,则称该整式为“$PQ$ 类整式”；
③ 若 $a\neq0$,$b\neq0$,$c\neq0$,则称该整式为“$PQR$ 类整式”。
(1) 模仿上面的分类方式,请给出 $R$ 类整式和 $QR$ 类整式的定义：若
$a=0,b=0,c≠0$
,则称该整式为“$R$ 类整式”；若
$a=0,b≠0,c≠0$
,则称该整式为“$QR$ 类整式”；
(2) 说明整式 $x^{2}-5x + 5$ 为“$PQ$ 类整式”；
(2)解:因为-2P+3Q=-2($x^{2}+x-1$)+3($x^{2}-x+1$)=-2$x^{2}$-2x+2+3$x^{2}$-3x+3=$x^{2}$-5x+5.即$x^{2}$-5x+5=-2P+3Q,所以$x^{2}$-5x+5是"PQ类整式".
(3) $x^{2}+x + 1$ 是哪一类整式？说明理由。
(3)解:$x^{2}+x+1$是"PQR类整式".理由如下:因为$x^{2}+x+1$=($x^{2}+x-1$)+($x^{2}-x+1$)+(-$x^{2}$+x+1),所以该整式为"PQR类整式".
答案：3.(1)a=0,b=0,c≠0 a=0,b≠0,c≠0
(2)解:因为-2P+3Q=-2($x^{2}+x-1$)+3($x^{2}-x+1$)=-2$x^{2}$-2x+2+3$x^{2}$-3x+3=$x^{2}$-5x+5.即$x^{2}$-5x+5=-2P+3Q,所以$x^{2}$-5x+5是"PQ类整式".
(3)解:$x^{2}+x+1$是"PQR类整式".理由如下:因为$x^{2}+x+1$=($x^{2}+x-1$)+($x^{2}-x+1$)+(-$x^{2}$+x+1),所以该整式为"PQR类整式".
