1.(2024春·榆林期末)关于x的分式方程$\frac {x-3}{x-1}= \frac {m}{x-1}$有增根,则m的值是 (
A
)
A.-2
B.3
C.-3
D.2
答案：A
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$，得$x - 3 = m$。
因为分式方程有增根，所以$x - 1 = 0$，即$x = 1$。
将$x = 1$代入$x - 3 = m$，得$m = 1 - 3 = -2$。
答案：A
2.若关于x的方程$\frac {2x+a}{x+2}= -1$的解是负数,则a的取值范围是 (
B
)
A.$a＜-2$
B.$a＞-2且a≠4$
C.$a＞-2且a≠0$
D.$a≠0$
答案：B
解析：
解：方程两边同乘$x + 2$得：$2x + a = - (x + 2)$
去括号得：$2x + a = -x - 2$
移项合并得：$3x = -2 - a$
解得：$x = \frac{-2 - a}{3}$
因为方程的解是负数，所以$\frac{-2 - a}{3} ＜ 0$，解得$a ＞ -2$
又因为分母不能为$0$，即$x + 2 \neq 0$，$\frac{-2 - a}{3} + 2 \neq 0$
$\frac{-2 - a + 6}{3} \neq 0$，$\frac{4 - a}{3} \neq 0$，解得$a \neq 4$
综上，$a$的取值范围是$a ＞ -2$且$a \neq 4$
答案：B
3.用换元法解方程$\frac {x^{2}+1}{4x}+\frac {4x}{x^{2}+1}= 2$时,如果设$\frac {x^{2}+1}{4x}= y$,那么原方程可化为关于y的整式方程是
$y^{2}-2y+1=0$
.
答案：$y^{2}-2y+1=0$
解析：
解：设$\frac{x^{2}+1}{4x}=y$，则$\frac{4x}{x^{2}+1}=\frac{1}{y}$。
原方程$\frac{x^{2}+1}{4x}+\frac{4x}{x^{2}+1}=2$可化为：$y + \frac{1}{y}=2$。
方程两边同乘$y$得：$y^{2}+1=2y$，移项可得$y^{2}-2y + 1=0$。
故原方程可化为关于$y$的整式方程是$y^{2}-2y + 1=0$。
4.解下列分式方程:
(1)$\frac {1+x}{2-x}-3= \frac {1}{x-2}$; (2)$\frac {x}{x-1}-1= \frac {3x}{4x-4}$;
(3)$\frac {x}{x-2}-\frac {1-x}{x^{2}-4}= 1$; (4)$\frac {x}{x-1}-1= \frac {3}{(x-1)(x+2)}$;
(5)$\frac {x-1}{x+3}-2= \frac {x}{3-x}$; (6)$\frac {2}{3}+\frac {x}{3x-1}= \frac {1}{9x-3}$.
答案：(1)去分母,得$-1-x-3x+6=1$,
解得$x=1$,
经检验$x=1$是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为$x=1$.
(2)去分母,得$4x-4x+4=3x$,
解得$x=\frac{4}{3}$,
经检验$x=\frac{4}{3}$是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为$x=\frac{4}{3}$.
(3)去分母,得$x^{2}+2x-1+x=x^{2}-4$,
解得$x=-1$,
经检验$x=-1$是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为$x=-1$.
(4)去分母,得$x^{2}+2x-x^{2}-x+2=3$,
解得$x=1$,
经检验$x=1$是增根,
∴原分式方程无解.
(5)去分母,得$(x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)=-x(x+3)$,
整理,得$x^{2}-4x+3-2x^{2}+18=-x^{2}-3x$,
解得$x=21$,
检验:当$x=21$时,$(x+3)(x-3)≠0$,
∴原分式方程的解是$x=21$.
(6)去分母,得$6x-2+3x=1$,
解得$x=\frac{1}{3}$,经检验$x=\frac{1}{3}$是增根,
∴原分式方程无解.
