2. 解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘
最简公分母
,约去分母,化成
整式方程
;
(2)解这个整式方程;
(3)把整式方程的解代入
最简公分母
,如果最简公分母的值不为0,那么整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是
原分式方程
的解.
答案：(1)最简公分母 整式方程
(3)最简公分母 原分式方程
1. 下列各式中是分式方程的是 (
D
)
A.$\frac{1}{x}$
B.$x^2 + 1 = y$
C.$\frac{x}{2} + 1 = 0$
D.$\frac{1}{x - 1} = 2$
答案：D
解析：
分式方程是分母中含有未知数的方程。
A选项$\frac{1}{x}$是分式，不是方程；
B选项$x^2 + 1 = y$是二元二次方程，分母不含未知数；
C选项$\frac{x}{2} + 1 = 0$是一元一次方程，分母不含未知数；
D选项$\frac{1}{x - 1} = 2$是分母中含有未知数的方程，是分式方程。
答案：D
2. 方程$\frac{2}{x - 3} = \frac{1}{x - 2}$的解为 (
B
)
A.$x = 2$
B.$x = 1$
C.$x = 0$
D.$x = -1$
答案：B
解析：
解：方程两边同乘$(x - 3)(x - 2)$得：$2(x - 2) = x - 3$
去括号得：$2x - 4 = x - 3$
移项得：$2x - x = -3 + 4$
合并同类项得：$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x - 3)(x - 2) = (-2)×(-1) = 2 ≠ 0$
所以$x = 1$是原方程的解。
B
3. 某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务,原计划x天完成,实际平均每天多制作了5个,因此提前10天完成任务.根据题意,下列方程正确的是 (
B
)
A.$\frac{300}{x - 5} - \frac{300}{x} = 10$
B.$\frac{300}{x - 10} - \frac{300}{x} = 5$
C.$\frac{300}{x} - \frac{300}{x - 5} = 10$
D.$\frac{300}{x - 10} + 5 = \frac{300}{x}$
答案：B
解析：
解：原计划每天制作$\frac{300}{x}$个，实际完成天数为$x - 10$天，实际每天制作$\frac{300}{x - 10}$个。
因为实际平均每天多制作了5个，所以可列方程：$\frac{300}{x - 10} - \frac{300}{x} = 5$。
答案：B
4. (2024春·台儿庄区期末)将方程$\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3x}{1 - x}$去分母,两边同乘$(x - 1)$后的式子为 (
B
)
A.$1 + 3 = 3x(1 - x)$
B.$1 + 3(x - 1) = -3x$
C.$x - 1 + 3 = -3x$
D.$1 + 3(x - 1) = 3x$
答案：B
解析：
解：方程两边同乘$(x - 1)$，得：
$1 + 3(x - 1) = -3x$
结论：B
5. 解下列分式方程.
(1)$\frac{3}{x} = \frac{5}{x - 2}$;
(2)$\frac{9}{3 + x} = \frac{6}{3 - x}$;
(3)$\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x} = 0$;
(4)$\frac{1}{x - 1} = \frac{4}{x^2 - 1}$;
(5)$\frac{x}{x - 3} + 1 = \frac{1}{x - 3}$;
(6)$\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{2x + 2} + 1$.
答案：(1)去分母,得3x-6=5x,
解得x=-3,
经检验x=-3是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-3.
(2)去分母,得27-9x=18+6x,
移项、合并同类项,得15x=9,
解得x=$\frac{3}{5}$,
经检验x=$\frac{3}{5}$是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=$\frac{3}{5}$.
(3)去分母,得2x-x+3=0,解得x=-3,
经检验x=-3是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-3.
(4)去分母,得x+1=4,解得x=3,
经检验x=3是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=3.
(5)去分母,得x+x-3=1,解得x=2,
经检验x=2是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=2.
(6)方程两边都乘2(x+1),得4=3+2(x+1),
解得x=-$\frac{1}{2}$,
经检验x=-$\frac{1}{2}$是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-$\frac{1}{2}$.
