解：在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=40^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle C = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}$。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AD = BD$，
$\therefore \angle ABD = \angle A = 40^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$。
答案：A

解：分两种情况讨论：
情况一：等腰三角形为锐角三角形
腰上的高在三角形内部，高与另一腰的夹角为$60^{\circ}$，则顶角为：
$90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$
情况二：等腰三角形为钝角三角形
腰上的高在三角形外部，高与另一腰的夹角为$60^{\circ}$，则顶角的外角为：
$90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$
顶角为：$180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$
综上，顶角的度数为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。
答案：B

解：因为在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B = \angle C = 70^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$。
因为$D$是边$BC$的中点，且$AB = AC$，所以$AD$平分$\angle BAC$（等腰三角形三线合一）。
因此，$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2} × 40^{\circ} = 20^{\circ}$。
$20$

当$70^{\circ}$角为顶角时，底角的度数为$\frac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}=55^{\circ}$；
当$70^{\circ}$角为底角时，底角的度数为$70^{\circ}$。
故底角的度数是$55^{\circ}$或$70^{\circ}$。

解：
∵等腰三角形的一个外角是$80^{\circ}$，
∴与这个外角相邻的内角为$180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$。
若$100^{\circ}$为底角，则两底角和为$100^{\circ}×2=200^{\circ}\gt180^{\circ}$，不符合三角形内角和定理，故舍去。
∴$100^{\circ}$只能为顶角，
则底角为$(180^{\circ}-100^{\circ})÷2=40^{\circ}$。
40

解：
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD（等腰三角形三线合一）。
设AB=AC=x，BD=CD=y，AD=z。
由△ABD的周长为12，得：AB+BD+AD=12，
即x+y+z=12 ①。
由△ABC的周长为16，得：AB+AC+BC=16，
即2x+2y=16，化简得x+y=8 ②。
①-②得：z=4。
∴AD的长是4。
答案：4

(1)证明：连接AE。
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE。
∵BE=AC，
∴AE=AC。
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC。
(2)解：设∠B=x°。
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=2x°。
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
即75°+x°+2x°=180°，
解得x=35，
∴∠B=35°。