2. (2024春·天宁区期中)阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中,如果一个内角$\alpha$的度数是另一个内角度数的3倍,那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”,其中$\alpha$称为“优雅角”。例如,一个三角形三个内角的度数分别是$30^{\circ}$,$90^{\circ}$,$60^{\circ}$,这个三角形就是“优雅三角形”,其中“优雅角”为$90^{\circ}$。反之,若一个三角形是“优雅三角形”,那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角$\alpha$的度数是另一个内角度数的3倍。
(1)一个“优雅三角形”的一个内角为$120^{\circ}$,若“优雅角”为锐角,则这个“优雅角”的度数为______
45°
。
(2)如图①,已知$\angle MON= 60^{\circ}$,在射线$OM上取一点A$,过点$A作AB\perp OM交ON于点B$,以$A为端点画射线交线段OB于点C$(点$C不与点O$,$B$重合)。若$\triangle AOC$是“优雅三角形”,求$\angle ACB$的度数。
解：∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°．
∵∠MON=60°，△AOC是“优雅三角形”，分两种情况：
①若∠MON=60°为“优雅角”，则另一角为20°，∠ACO=180°-60°-20°=100°，∴∠ACB=180°-100°=80°；
②若∠OAC和∠ACO中有“优雅角”，两角和为180°-60°=120°，则两角为30°和90°．
若∠ACO=90°，则∠ACB=90°；
若∠ACO=30°，点C与B重合（舍）．
综上，∠ACB=80°或90°．
(3)如图②,在$\triangle ABC$中,点$D在边BC$上,$DE平分\angle ADB交AB于点E$,$F为线段AD$上一点,且$\angle AFE+\angle ADC= 180^{\circ}$,$\angle FED= \angle C$。若$\triangle ADC$是“优雅三角形”,求$\angle C$的度数。
解：∵∠AFE+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADB=180°，∴∠AFE=∠ADB，∴EF//BC，∠FED=∠BDE．
∵∠FED=∠C，∴∠BDE=∠C．
∵DE平分∠ADB，∴∠ADB=2∠BDE=2∠C．
△ADC是“优雅三角形”，∠ADB=2∠C，∠ADC=180°-2∠C，分情况：
①∠C=3∠ADC：设∠ADC=x，则∠C=3x，2∠C=180°-x，即6x=180°-x，x=$\frac {180°}{7}$，∠C=$\frac {540°}{7}$；
②∠C=3∠DAC：设∠DAC=x，∠C=3x，∠ADC=180°-4x，2∠C=180°-∠ADC，即6x=4x，x=0（舍）；
③∠ADC=3∠C：设∠C=x，∠ADC=3x，2x=180°-3x，x=36°；
④∠ADC=3∠DAC：设∠DAC=x，∠ADC=3x，∠C=180°-4x，2∠C=180°-∠ADC，即2(180°-4x)=180°-3x，x=36°，∠C=36°；
⑤∠DAC=3∠ADC：设∠ADC=x，∠DAC=3x，∠C=180°-4x，2∠C=180°-x，即2(180°-4x)=180°-x，x=$\frac {180°}{7}$，∠C=$\frac {540°}{7}$；
⑥∠DAC=3∠C：设∠C=x，∠DAC=3x，∠ADC=180°-4x，2x=4x，x=0（舍）．
综上，∠C=36°或$\frac {540°}{7}$．
