1.(2024·沭阳县模拟)如图,在$\triangle ABC$中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且$S_{\triangle ABC}= 4cm^{2}$,则阴影部分的面积为
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$cm^{2}$.
答案：1 点拨:由题意得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC面积的一半。
解析：
解：
∵D是BC中点，
∴S△ABD=S△ACD=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×4=2cm2。
∵E是AD中点，
∴S△BED=$\frac{1}{2}$S△ABD=1cm2，S△CED=$\frac{1}{2}$S△ACD=1cm2。
∴S△BEC=S△BED+S△CED=1+1=2cm2。
∵F是CE中点，
∴S△BEF=$\frac{1}{2}$S△BEC=$\frac{1}{2}$×2=1cm2。
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2.如图,在$\triangle ABC$中,点D在边AC上且$AD= 2CD$,E是BC的中点,且AE,BD相交于点O.若$\triangle BOE$的面积为2,则$\triangle AOD$的面积为______
$\frac{16}{3}$
.
答案：1. 首先，利用三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（等底等高的三角形面积相等）：
因为$E$是$BC$的中点，根据$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ACE}$，$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle COE}$（等底$BE = CE$，同高）。已知$S_{\triangle BOE}=2$，所以$S_{\triangle BOC}=S_{\triangle BOE}+S_{\triangle COE}=2 + 2=4$。
2. 然后，设$S_{\triangle COD}=x$：
因为$AD = 2CD$，根据$S=\frac{1}{2}ah$（高相同，面积比等于底之比），则$S_{\triangle AOD}=2S_{\triangle COD}=2x$。
又因为$S_{\triangle ABD}=2S_{\triangle CBD}$（$AD = 2CD$，高相同），$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle AOB}$，$S_{\triangle CBD}=S_{\triangle COD}+S_{\triangle BOC}$。
即$S_{\triangle AOD}+S_{\triangle AOB}=2(S_{\triangle COD}+S_{\triangle BOC})$。
同时，$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle COD}=2x + x=3x$（$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ACE}$，$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle COE}$，所以$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}$）。
3. 最后，代入面积关系求解：
把$S_{\triangle AOD}=2x$，$S_{\triangle AOB}=3x$，$S_{\triangle COD}=x$，$S_{\triangle BOC}=4$代入$S_{\triangle AOD}+S_{\triangle AOB}=2(S_{\triangle COD}+S_{\triangle BOC})$，得到$2x+3x=2(x + 4)$。
展开方程：$5x=2x + 8$。
移项：$5x-2x=8$，即$3x = 8$，$x=\frac{8}{3}$。
则$S_{\triangle AOD}=2x$，$S_{\triangle AOD}=\frac{16}{3}$。
故$\triangle AOD$的面积为$\frac{16}{3}$。
3.如图,已知AD,AE分别是$\triangle ABC$的高和中线,$AB= 6cm,AC= 8cm,BC= 10cm$,$∠BAC= 90^{\circ }$.
(1)求AD的长;
(2)求$\triangle ABE$的面积;
(3)求$\triangle ACE和\triangle ABE$的周长差.
答案：1. （1）求$AD$的长：
解：因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$是$\triangle ABC$的高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$\triangle ABC$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD$。
已知$AB = 6cm$，$AC = 8cm$，$BC = 10cm$，代入$\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD$中，可得：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AD$。
化简得$24 = 5AD$，解得$AD=\frac{24}{5}=4.8cm$。
2. （2）求$\triangle ABE$的面积：
解：因为$AE$是$\triangle ABC$的中线，所以$BE=\frac{1}{2}BC$（中线定义：三角形中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段）。
已知$BC = 10cm$，则$BE=\frac{1}{2}×10 = 5cm$。
又因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}×6×8 = 24cm^{2}$，且$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$（等底同高的三角形面积关系：中线将三角形分成面积相等的两部分）。
所以$S_{\triangle ABE}=12cm^{2}$。
3. （3）求$\triangle ACE$和$\triangle ABE$的周长差：
解：$\triangle ACE$的周长$C_{1}=AC + CE+AE$，$\triangle ABE$的周长$C_{2}=AB + BE+AE$。
因为$AE$是中线，所以$CE = BE$。
则$C_{1}-C_{2}=(AC + CE+AE)-(AB + BE+AE)$。
化简得$C_{1}-C_{2}=AC - AB$。
已知$AC = 8cm$，$AB = 6cm$，所以$C_{1}-C_{2}=8 - 6=2cm$。
综上，（1）$AD = 4.8cm$；（2）$S_{\triangle ABE}=12cm^{2}$；（3）$\triangle ACE$与$\triangle ABE$的周长差为$2cm$。
