1. 已知 $ m $, $ n $ 均为正整数且满足 $ mn - 3m - 2n - 24 = 0 $,则 $ m + n $ 的最大值是 (
D
)
A.16
B.22
C.34
D.36
答案：D 点拨:将方程左边变形得:$mn - 3m - 2n + 6 - 30 = m(n - 3) - 2(n - 3) = 30$，$\therefore (m - 2)(n - 3) = 30$。
$\because m$，$n$均为正整数，
$\therefore \begin{cases} m - 2 = 1 \\ n - 3 = 30 \end{cases}$或$\begin{cases} m - 2 = 2 \\ n - 3 = 15 \end{cases}$或$\begin{cases} m - 2 = 3 \\ n - 3 = 10 \end{cases}$或$\begin{cases} m - 2 = 5 \\ n - 3 = 6 \end{cases}$或$\begin{cases} m - 2 = 30 \\ n - 3 = 1 \end{cases}$或$\begin{cases} m - 2 = 15 \\ n - 3 = 2 \end{cases}$或$\begin{cases} m - 2 = 10 \\ n - 3 = 3 \end{cases}$或$\begin{cases} m - 2 = 6 \\ n - 3 = 5 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} m = 3 \\ n = 33 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 4 \\ n = 18 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 5 \\ n = 13 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 7 \\ n = 9 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 32 \\ n = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 17 \\ n = 5 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 12 \\ n = 6 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 8 \\ n = 8 \end{cases}$，
$\therefore m + n = 36$或 22 或 18 或 16，
$\therefore m + n$的最大值是 36。
2. 已知实数 $ m $, $ n $, $ p $, $ q $ 满足 $ m + n = p + q = 4 $, $ mp + nq = 6 $,则 $ (m^{2} + n^{2})pq + mn(p^{2} + q^{2}) = $
60
.
答案：60
解析：
解：
已知 $ m + n = 4 $，$ p + q = 4 $，$ mp + nq = 6 $。
$\begin{aligned}(m^2 + n^2)pq + mn(p^2 + q^2) &= m^2pq + n^2pq + mnp^2 + mnq^2 \\&= mp(mq + np) + nq(np + mq) \\&= (mp + nq)(mq + np)\end{aligned}$
由 $ (m + n)(p + q) = mp + mq + np + nq $，得：
$ 4 × 4 = 6 + (mq + np) $，即 $ 16 = 6 + (mq + np) $，解得 $ mq + np = 10 $。
因此，原式 $ = 6 × 10 = 60 $。
答案：60
3. 用分组分解法或十字相乘法因式分解:
(1) $ ax + bx + 3a + 3b $; (2) $ 4a^{2} - b^{2} + 6a - 3b $;
(3) $ ma^{2} + na^{2} - mb^{2} - nb^{2} $; (4) $ x^{2} - 4y^{2} + 12yz - 9z^{2} $;
(5) $ x^{2} - 2xy - 8y^{2} $; (6) $ 2x^{2} + 5xy + 3y^{2} $;
(7) $ 5a^{2}b^{2} + 23ab - 10 $; (8) $ 4x^{4} - 13x^{2}y^{2} + 9y^{4} $.
答案：解: (1) 原式$=(ax + bx) + (3a + 3b) = x(a + b) + 3(a + b) = (a + b)(x + 3)$。
(2) 原式$=(2a + b)(2a - b) + 3(2a - b) = (2a - b)(2a + b + 3)$。
(3) 原式$=a^{2}(m + n) - b^{2}(m + n) = (m + n)(a^{2} - b^{2}) = (m + n)(a + b)(a - b)$。
(4) 原式$=x^{2} - (4y^{2} - 12yz + 9z^{2}) = x^{2} - (2y - 3z)^{2} = (x + 2y - 3z)(x - 2y + 3z)$。
(5) 原式$=(x + 2y)(x - 4y)$。
(6) 原式$=(x + y)(2x + 3y)$。
(7) 原式$=(ab + 5)(5ab - 2)$。
(8) 原式$=(x^{2} - y^{2})(4x^{2} - 9y^{2}) = (x + y)(x - y)(2x + 3y)(2x - 3y)$。
