2025年启东中学作业本八年级数学上册人教版第29页解析答案

1.定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.下列式子中,属于“和谐分式”的是

①③④

(填序号).

答案：①③④

解析：

①$\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$，是整式$1$与分子为常数$1$的分式$\frac{1}{x}$的和，是和谐分式；
②$\frac{2+x}{2}=\frac{x}{2}+1$，是整式$\frac{x}{2}+1$，不是和谐分式；
③$\frac{x+2}{x+1}=\frac{(x+1)+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$，是整式$1$与分子为常数$1$的分式$\frac{1}{x+1}$的和，是和谐分式；
④$\frac{y^2+1}{y^2}=\frac{y^2}{y^2}+\frac{1}{y^2}=1+\frac{1}{y^2}$，是整式$1$与分子为常数$1$的分式$\frac{1}{y^2}$的和，是和谐分式。
属于“和谐分式”的是①③④。

(1)将分式$\frac {x^{2}+6x-3}{x-1}$拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式,则结果为

$x + 7 + \frac{4}{x - 1}$

;
(2)已知整数x使分式$\frac {2x^{2}+5x-20}{x-3}$的值为整数,则满足条件的整数$x=$

2 或 4 或 -10 或 16

;
(3)已知一个六位整数$\overline {20xy17}$能被33整除,求满足条件的x,y的值.
解：$\frac{200017 + 1000x + 100y}{33}$
$= \frac{6061×33 + 4 + 30x·33 + 10x + 3y·33 + y}{33}$
$= \frac{33(6061 + 30x + 3y) + 10x + y + 4}{33}$
$= 6061 + 30x + 3y + \frac{10x + y + 4}{33}$，
∵整数$\overline{20xy17}$能被 33 整除，
∴$\frac{10x + y + 4}{33}$为整数，即$10x + y + 4 = 33k$（k 为整数），
当$k = 1$时，$x = 2$，$y = 9$符合题意；
当$k = 2$时，$x = 6$，$y = 2$符合题意；
当$k = 3$时，$x = 9$，$y = 5$符合题意。

答案：(1)$x + 7 + \frac{4}{x - 1}$ 点拨：$\frac{x^2 + 6x - 3}{x - 1} = \frac{x^2 - x + 7x - 7 + 4}{x - 1}$
$= \frac{x(x - 1) + 7(x - 1) + 4}{x - 1}$
$= \frac{(x - 1)(x + 7) + 4}{x - 1}$
$= x + 7 + \frac{4}{x - 1}$。
(2)2 或 4 或 -10 或 16
点拨：$\frac{2x^2 + 5x - 20}{x - 3} = \frac{2x^2 - 6x + 11x - 33 + 13}{x - 3}$
$= \frac{2x(x - 3) + 11(x - 3) + 13}{x - 3}$
$= \frac{(x - 3)(2x + 11) + 13}{x - 3}$
$= 2x + 11 + \frac{13}{x - 3}$，
∵分式$\frac{2x^2 + 5x - 20}{x - 3}$的值为整数，

∴$\frac{13}{x - 3}$是整数，
∴$x - 3 = \pm 1$或$x - 3 = \pm 13$，
解得：$x = 2$或 4 或 -10 或 16。
(3)解：$\frac{200017 + 1000x + 100y}{33}$
$= \frac{6061×33 + 4 + 30x·33 + 10x + 3y·33 + y}{33}$
$= \frac{33(6061 + 30x + 3y) + 10x + y + 4}{33}$
$= 6061 + 30x + 3y + \frac{10x + y + 4}{33}$，
∵整数$\overline{20xy17}$能被 33 整除，
∴$\frac{10x + y + 4}{33}$为整数，即$10x + y + 4 = 33k$（k 为整数），
当$k = 1$时，$x = 2$，$y = 9$符合题意；
当$k = 2$时，$x = 6$，$y = 2$符合题意；
当$k = 3$时，$x = 9$，$y = 5$符合题意。