解：过点 $ D $ 作 $ DH \perp AC $ 于点 $ H $。
∵ $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线，且 $ DF \perp AB $，$ DH \perp AC $，
∴ $ DF = DH $。
设 $ DF = DH = x $，$ S_{\triangle EDF} = y $。
∵ $ DE = DG $，
∴ $ S_{\triangle ADG} = S_{\triangle ADH} + S_{\triangle DGH} = 60 $，$ S_{\triangle AED} = S_{\triangle AFD} - S_{\triangle EFD} = 38 $。
设 $ AF = a $，$ AH = b $，则 $ S_{\triangle AFD} = \frac{1}{2}ax $，$ S_{\triangle ADH} = \frac{1}{2}bx $。
∵ $ DE = DG $，$ DF = DH $，
∴ $ \triangle DFE \cong \triangle DHG $（HL），∴ $ S_{\triangle DGH} = S_{\triangle EFD} = y $。
∴ $ \frac{1}{2}bx + y = 60 $，$ \frac{1}{2}ax - y = 38 $。
又∵ $ AD $ 是角平分线，由角平分线性质得 $ AF = AH $（可通过全等证明 $ \triangle AFD \cong \triangle AHD $），即 $ a = b $。
∴ $ \frac{1}{2}ax = \frac{1}{2}bx $，设 $ \frac{1}{2}ax = \frac{1}{2}bx = m $，则 $ m - y = 38 $，$ m + y = 60 $。
两式相减得 $ 2y = 22 $，∴ $ y = 11 $。
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