解：$(x + 2)(x - 2)+(x - 2)$
$=(x - 2)[(x + 2) + 1]$
$=(x - 2)(x + 3)$
余下的部分是$x + 3$
D

解：A选项，将多项式$a^{2}-4a + 3$转化为了两个整式$(a - 1)$与$(a - 3)$的乘积形式，符合因式分解的定义。
B选项，$2a^{2}-ab - a = a(2a - b)-a$，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解。
C选项，$8a^{5}b^{2}= 4a^{3}b\cdot2a^{2}b$，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求。
D选项，$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$，是整式乘法，从右到左才是因式分解，此选项从左到右不是。
结论：A

解：$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$
$=ab(a^{2} + 2ab + b^{2})$
$=ab(a + b)^{2}$
已知$a + b = 3$，$ab = 1$，代入上式得：
$1×3^{2} = 1×9 = 9$
D

解：
∵ $a + b + 1 = 0$，
∴ $a + b = -1$。
$3a^2 + 3b^2 + 6ab = 3(a^2 + 2ab + b^2) = 3(a + b)^2$。
将 $a + b = -1$ 代入，得：
$3(-1)^2 = 3×1 = 3$。
答案：A

解：$2x^{2}-8=2(x^{2}-4)=2(x+2)(x-2)$，故选C。

设正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$CEFG$的边长为$b$。
因为$S_{1}$和$S_{2}$分别是两个正方形的面积，所以$S_{1}=a^{2}$，$S_{2}=b^{2}$。已知$S_{1}+S_{2}=20$，则$a^{2}+b^{2}=20$。
又因为$BG=6$，且$BG=BC + CG=a + b$，所以$a + b=6$。
对$(a + b)^{2}$进行展开可得$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，将$a + b=6$，$a^{2}+b^{2}=20$代入可得：
$6^{2}=20 + 2ab$
$36=20 + 2ab$
$2ab=36 - 20$
$2ab=16$
$ab=8$
由图可知，阴影部分是一个三角形，其底为$a$，高为$b$，所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}ab$。
将$ab=8$代入可得：$\frac{1}{2}×8 = 4$。
故答案为A。

解：$ax^{2}-4ax + 4a$
$=a(x^{2}-4x + 4)$
$=a(x - 2)^{2}$
结论：A

平方差公式为$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，其特点是两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(2a + 3b)(3a - 2b)$，两项均不相同也不互为相反数，不符合平方差公式特点。
选项B：$(a + b)(-a - b)=-(a + b)(a + b)$，两项均相同，不符合平方差公式特点。
选项C：$(-m + n)(m - n)=-(m - n)(m - n)$，两项均相同，不符合平方差公式特点。
选项D：$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)=(b + \frac{1}{2}a)(b - \frac{1}{2}a)$，其中$b$完全相同，$\frac{1}{2}a$与$-\frac{1}{2}a$互为相反数，符合平方差公式特点。
D

解：由已知得，$a(a - 1)-(a^{2}-b)= -2$，
展开得$a^2 - a - a^2 + b = -2$，
化简得$-a + b = -2$，即$b - a = -2$，则$a - b = 2$。
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{2} = \frac{(a - b)^2}{2}$，
将$a - b = 2$代入，得$\frac{2^2}{2} = 2$。
答案：B

解：原式展开得：
$\begin{aligned}&(2x - y)^2 + (2y - z)^2 + (2z - x)^2\\=&4x^2 - 4xy + y^2 + 4y^2 - 4yz + z^2 + 4z^2 - 4zx + x^2\\=&5x^2 + 5y^2 + 5z^2 - 4xy - 4yz - 4zx\end{aligned}$
因为$x^2 + y^2 + z^2 = 4$，所以$5(x^2 + y^2 + z^2)=20$，则原式$=20 - 4(xy + yz + zx)$。
又因为$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \geq 0$，所以$xy + yz + zx \geq -\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2} = -2$。
当$xy + yz + zx = -2$时，原式最大值为$20 - 4×(-2) = 28$。
答案：C