23.(10分)(1)已知$3^{m}= 6,9^{n}= 2$,求$3^{m+2n},3^{2m-4n}$的值；
(2)比较大小：$4^{20}与15^{10}$.
答案：(1) ∵ 3ᵐ = 6, 9ⁿ = 2, ∴ 3ᵐ⁺²ⁿ = 3ᵐ·3²ⁿ = 3ᵐ·(3²)ⁿ = 3ᵐ·9ⁿ = 6×2 = 12. 3²ᵐ⁻⁴ⁿ = 3²ᵐ ÷ 3⁴ⁿ = (3ᵐ)² ÷ (3²ⁿ)² = (3ᵐ)² ÷ (9ⁿ)² = 6² ÷ 2² = 9. (2) ∵ 4²⁰ = (4²)¹⁰ = 16¹⁰, ∵ 16¹⁰ ＞ 15¹⁰, ∴ 4²⁰ ＞ 15¹⁰.
24.(12分)发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证：(1)$(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}$的结果是5的几倍?
(2)设五个连续整数的中间一个数为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.
延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几? 并写出理由.
答案：验证:(1) (-1)² + 0² + 1² + 2² + 3² = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15, 15 ÷ 5 = 3, ∴ (-1)² + 0² + 1² + 2² + 3² 的结果是 5 的 3 倍. (2) 由题意知,五个连续整数的中间一个数为 n, 则其余 4 个整数分别是 n - 2, n - 1, n + 1, n + 2, 它们的平方和为 (n - 2)² + (n - 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = n² - 4n + 4 + n² - 2n + 1 + n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 = 5n² + 10 = 5(n² + 2), ∵ n 是整数, ∴ n² + 2 是整数, ∴ 五个连续整数的平方和是 5 的倍数. 延伸:余数是 2. 理由:设三个连续整数的中间一个数为 m, 则其余两个整数分别是 m - 1, m + 1, 它们的平方和为 (m - 1)² + m² + (m + 1)² = m² - 2m + 1 + m² + m² + 2m + 1 = 3m² + 2. ∵ m 是整数, ∴ m² 是整数, ∴ 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2.
