20.(6分)已知多项式$2x^{3}-4x^{2}-1$除以一个多项式A,得商为2x,余式为$x-1$,求这个多项式A.
答案：解:由题意得 A = [2x³ - 4x² - 1 - (x - 1)] ÷ (2x) = x² - 2x - 1/2.
解析：
解：由题意得，多项式A为：
$\begin{aligned}A&=[(2x^{3}-4x^{2}-1)-(x-1)]÷(2x)\\&=(2x^{3}-4x^{2}-1 - x + 1)÷(2x)\\&=(2x^{3}-4x^{2}-x)÷(2x)\\&=x^{2}-2x-\frac{1}{2}\end{aligned}$
答：多项式A为$x^{2}-2x-\frac{1}{2}$。
21.(10分)(2023·苏州工业园区月考)已知$(a^{x})^{y}= a^{6},(a^{x})^{2}÷a^{y}= a^{3}$.
(1)求$xy和2x-y$的值；
(2)求$4x^{2}+y^{2}$的值.
答案：(1) ∵ (aˣ)ʸ = a⁶, (aˣ)² ÷ aʸ = a³, ∴ aˣʸ = a⁶, a²ˣ⁻ʸ = a³, ∴ xy = 6, 2x - y = 3. (2) 由(1)得 xy = 6, 2x - y = 3, ∴ 4x² + y² = (2x - y)² + 4xy = 3² + 4×6 = 9 + 24 = 33.
22.(8分)观察下列关于正整数的等式：
$3^{2}-4×1^{2}= 5$； ①
$5^{2}-4×2^{2}= 9$； ②
$7^{2}-4×3^{2}= 13$； ③
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第4个等式：$9^{2}-4×($
4
$)^{2}= ($
17
$)$；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
解: (2n + 1)² - 4n² = 4n + 1. 验证: (2n + 1)² - 4n² = 4n² + 4n + 1 - 4n² = 4n + 1.
答案：(1) 4 17；(2) 解: (2n + 1)² - 4n² = 4n + 1. 验证: (2n + 1)² - 4n² = 4n² + 4n + 1 - 4n² = 4n + 1.
