14.已知一个长方形的面积是$a^{2}-2ab+a$,宽为a,则长方形的长为__
a - 2b + 1
__.
答案：a - 2b + 1
解析：
长方形的长 = 面积 ÷ 宽，即$(a^{2} - 2ab + a) ÷ a$
$\begin{aligned}&(a^{2} - 2ab + a) ÷ a\\=&a^{2} ÷ a - 2ab ÷ a + a ÷ a\\=&a - 2b + 1\end{aligned}$
故长方形的长为$a - 2b + 1$。
15.(2023·南通如皋期末)如图,现有A,B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张,如果要拼成一个长为$2m+n$、宽为$2n+m$的大长方形,那么需要C类卡片
5
张.
答案：5
解析：
解：大长方形面积为$(2m + n)(2n + m)$
$\begin{aligned}&(2m + n)(2n + m)\\=&2m×2n + 2m×m + n×2n + n×m\\=&4mn + 2m^2 + 2n^2 + mn\\=&2m^2 + 2n^2 + 5mn\end{aligned}$
A类卡片面积为$m^2$，B类卡片面积为$n^2$，C类卡片面积为$mn$，故需要C类卡片5张。
5
16.(2023·扬州期中)若$(5a+3b)^{2}= (5a-3b)^{2}+A$,则代数式A为
60ab
.
答案：60ab
解析：
解：∵$(5a + 3b)^2=(5a - 3b)^2 + A$
$\therefore A=(5a + 3b)^2-(5a - 3b)^2$
$=(25a^2 + 30ab + 9b^2)-(25a^2 - 30ab + 9b^2)$
$=25a^2 + 30ab + 9b^2 - 25a^2 + 30ab - 9b^2$
$=60ab$
60ab
17.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是
10
.
答案：10
解析：
解：设较大正方形的边长为$a$，较小正方形的边长为$b$。
由题意得：$a + b = 5$，$a - b = 2$。
较大正方形面积减去较小正方形面积为：$a^2 - b^2$，根据平方差公式可得$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
将$a + b = 5$，$a - b = 2$代入，得$5×2 = 10$。
10
18.(8分)计算：
(1)$2a^{3}b(3ab^{2}c-2bc)$； (2)$(2a+3b)(2a-5b)$；
(3)$(2x-3y)^{2}+(2x+3y)^{2}$； (4)$(5a-b)(-5a-b)$.
答案：(1) 6a⁴b³c - 4a³b²c；(2) 4a² - 4ab - 15b²；(3) 8x² + 18y²；(4) b² - 25a²
解析：
(1)原式$=2a^{3}b\cdot 3ab^{2}c-2a^{3}b\cdot 2bc=6a^{4}b^{3}c-4a^{3}b^{2}c$；
(2)原式$=2a\cdot 2a-2a\cdot 5b+3b\cdot 2a-3b\cdot 5b=4a^{2}-10ab+6ab-15b^{2}=4a^{2}-4ab-15b^{2}$；
(3)原式$=4x^{2}-12xy+9y^{2}+4x^{2}+12xy+9y^{2}=8x^{2}+18y^{2}$；
(4)原式$=(-b+5a)(-b-5a)=(-b)^{2}-(5a)^{2}=b^{2}-25a^{2}$.
19.(12分)计算：
(1)$(x-3)(x+3)-(x+1)(x+3)$； (2)$(x+2y)^{2}(x-2y)^{2}-(2x+y)^{2}(2x-y)^{2}$；
(3)$(3a^{2}+\frac{b}{2})(3a^{2}-\frac{b}{2})(9a^{4}-\frac{b^{2}}{4})$； (4)$(x+y+1)(1-x-y)$.
答案：$(1)$ 计算$(x - 3)(x + 3) - (x + 1)(x + 3)$
解：
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$(x - 3)(x + 3)=x^2-9$。
根据多项式乘多项式法则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，可得$(x + 1)(x + 3)=x^2+3x+x + 3=x^2+4x + 3$。
则原式$=x^2-9-(x^2+4x + 3)$
$=x^2-9-x^2-4x - 3$
$=-4x-12$。
$(2)$ 计算$(x + 2y)^{2}(x - 2y)^{2}-(2x + y)^{2}(2x - y)^{2}$
解：
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(x + 2y)^{2}(x - 2y)^{2}=[(x + 2y)(x - 2y)]^{2}$，$(2x + y)^{2}(2x - y)^{2}=[(2x + y)(2x - y)]^{2}$。
再根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，则$(x + 2y)(x - 2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$，$(2x + y)(2x - y)=(2x)^2-y^2=4x^2-y^2$。
所以原式$=(x^2-4y^2)^{2}-(4x^2-y^2)^{2}$。
根据平方差公式$a^2-b^2=(a - b)(a + b)$，这里$a=x^2-4y^2$，$b = 4x^2-y^2$，则：
$=(x^2-4y^2+4x^2-y^2)(x^2-4y^2-(4x^2-y^2))$
$=(5x^2-5y^2)(x^2-4y^2-4x^2+y^2)$
$=5(x^2-y^2)(-3x^2-3y^2)$
$=-15(x^2-y^2)(x^2+y^2)$
再根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$-15(x^4-y^4)=-15x^4 + 15y^4$。
$(3)$ 计算$(3a^{2}+\frac{b}{2})(3a^{2}-\frac{b}{2})(9a^{4}-\frac{b^{2}}{4})$
解：
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，$(3a^{2}+\frac{b}{2})(3a^{2}-\frac{b}{2})=(3a^2)^2-(\frac{b}{2})^2=9a^4-\frac{b^2}{4}$。
则原式$=(9a^4-\frac{b^2}{4})(9a^4-\frac{b^2}{4})$
$=(9a^4-\frac{b^2}{4})^2$
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn + n^2$，这里$m = 9a^4$，$n=\frac{b^2}{4}$，则：
$=(9a^4)^2-2×9a^4×\frac{b^2}{4}+(\frac{b^2}{4})^2$
$=81a^8-\frac{9}{2}a^4b^2+\frac{b^4}{16}$。
$(4)$ 计算$(x + y + 1)(1 - x - y)$
解：
将$(x + y + 1)(1 - x - y)$变形为$[1+(x + y)][1-(x + y)]$。
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，这里$a = 1$，$b=x + y$，则：
$=1^2-(x + y)^2$
再根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn + n^2$，这里$m = x$，$n = y$，则：
$=1-(x^2+2xy + y^2)$
$=1-x^2-2xy - y^2$。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{-4x - 12}$；$(2)\boldsymbol{-15x^4 + 15y^4}$；$(3)\boldsymbol{81a^8-\frac{9}{2}a^4b^2+\frac{b^4}{16}}$；$(4)\boldsymbol{1-x^2-2xy - y^2}$。
解析：
(1) 解：原式$=x^{2}-9-(x^{2}+4x+3)$
$=x^{2}-9-x^{2}-4x-3$
$=-4x-12$
(2) 解：原式$=[(x+2y)(x-2y)]^{2}-[(2x+y)(2x-y)]^{2}$
$=(x^{2}-4y^{2})^{2}-(4x^{2}-y^{2})^{2}$
$=x^{4}-8x^{2}y^{2}+16y^{4}-(16x^{4}-8x^{2}y^{2}+y^{4})$
$=x^{4}-8x^{2}y^{2}+16y^{4}-16x^{4}+8x^{2}y^{2}-y^{4}$
$=-15x^{4}+15y^{4}$
$=15y^{4}-15x^{4}$
(3) 解：原式$=(9a^{4}-\frac{b^{2}}{4})(9a^{4}-\frac{b^{2}}{4})$
$=(9a^{4}-\frac{b^{2}}{4})^{2}$
$=81a^{8}-2×9a^{4}×\frac{b^{2}}{4}+\frac{b^{4}}{16}$
$=81a^{8}-\frac{9}{2}a^{4}b^{2}+\frac{1}{16}b^{4}$
(4) 解：原式$=[1+(x+y)][1-(x+y)]$
$=1-(x+y)^{2}$
$=1-(x^{2}+2xy+y^{2})$
$=1-x^{2}-2xy-y^{2}$
