答案：
(1)证明:∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
　　∵锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,
　　∴∠BEC=∠CDB=90°.
　　∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°,
　　∴180°−∠BEC−∠BCE=180°−∠CDB−∠DBC,
　　∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形
　(2)解:点O在∠BAC的平分线上.
　理由:连接AO,如答图.
　　　　　　　　
　　在△AOB和△AOC中,$\begin{cases}AB = AC\\OB = OC\\OA = OA\end{cases}$
　　∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠BAO=∠CAO,
　　∴点O在∠BAC的平分线上.

答案：
(1)解:作DE⊥OB,交OB的延长线于点E,如答图.
　　∵OD平分∠BOC,DF⊥OC,点D在BC的垂直平分线上，∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°,DB=DC.
　　在Rt△DEB和Rt△DFC中,$\begin{cases}DB = DC\\DE = DF\end{cases}$
　　∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
　　∴∠BDE=∠CDF,∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF,即∠EDF=∠BDC.
　　∵∠OED=∠OFD=90°,∠BOC=60°,∴∠EDF=120°,∴∠BDC=120°.
　　　　　　　　
　　(2)180°−α
　　(3)解:由(1)可知,△DEB≌△DFC,则BE=CF.
　　∵OB+OC=OB+OF+FC,
　　∴OB+OC=OB+OF+EB=(OB+EB)+OF=OE+OF.
　　在Rt△DEO和Rt△DFO中,$\begin{cases}OD = OD\\DE = DF\end{cases}$
　　∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL),
　　∴OE=OF,∴OB+OC=2OF.

答案：
解:(1)结论:△ABC是直角三角形.
　理由:∵△ABC为“唯美三角形”,BD为AC边的“唯美线”,∴DB=DC=DA,
　　∴∠DBC=∠C,∠DBA=∠A.
　　∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
　　∴2∠ABD+2∠DBC=180°,
　　∴∠ABD+∠DBC=90°,
　　∴∠ABC=90°,∴△ABC是直角三角形.
(2)①过点A作AH⊥EC交EC的延长线于点H,AT⊥BE于点T,如答图①.
∵△ABC和△EBC均为“唯美三角形”,且AD和ED 分别为这两个三角形BC边的“唯美线”，
∴DA=DB=DC=DE,△ABC,△BEC都是直角三角形,且∠BAC=∠BEC=90°.
∵AH⊥EH,AT⊥BE,∴∠ATE=∠H=∠TEH=90°,∴四边形ATEH是长方形，∴∠TAH=∠BAC=90°,∴∠BAT=∠CAH.
∵AB=AC,∠ATB=∠H=90°,
∴△ATB≌△AHC(AAS),∴AT=AH.
∵AH⊥EH,AT⊥BE,∴EA平分∠BEC,
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$∠BEC=45°.
②当点E在BC的下方时,如答图①,
∵四边形ATEH是长方形,AT=AH,
∴四边形ATEH是正方形,∴ET=EH;
∵△ATB≌△AHC,∴BT=CH,
∴EB+EC=ET+BT+EH−CH=2ET=12,
∴ET=6,∴AT=6,即点A到BE的距离为6.
当点E在BC的上方时，如答图②,过点A作AH⊥EC 交EC的反向延长线于点H,AT⊥BE于点T.
同理可证△ABT≌△ACH,四边形ATEH是正方形，∴BT=CH,AT=ET=AH=EH,
∴BE−CE=BT+TE−(CH−EH)=2AT=9−3=6,∴AT=3,即点A到BE的距离为3.
综上所述,点A到BE的距离为6或3.