10. (2024春·成都期中)若$(x - 3)(x + m)= x^{2}-nx - 3$,则$n=$
2
.
答案：2
解析：
$(x - 3)(x + m)$
$=x^{2}+mx-3x-3m$
$=x^{2}+(m - 3)x - 3m$
因为$(x - 3)(x + m)= x^{2}-nx - 3$，所以可得：
$\begin{cases} -3m=-3 \\ m - 3=-n \end{cases}$
由$-3m=-3$，解得$m=1$。
将$m=1$代入$m - 3=-n$，得$1 - 3=-n$，即$-2=-n$，解得$n=2$。
2
11. 观察下列各式的规律:$1×3 = 2^{2}-1$；$3×5 = 4^{2}-1$；$5×7 = 6^{2}-1$；$7×9 = 8^{2}-1……将发现的规律用含n$的式子表示为
$(2n-1)(2n+1)=(2n)^{2}-1$
.
答案：$(2n-1)(2n+1)=(2n)^{2}-1$
12. 计算:
(1)$(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})(x^{2}+\frac{1}{4})$； (2)$(x^{4}+y^{4})(x^{2}+y^{2})(x + y)(x - y)$；
(3)$30\frac{1}{3}×29\frac{2}{3}$； (4)$2023^{2}-2022×2024$.
答案：
(1)原式$=(x^{2}-\frac {1}{4})(x^{2}+\frac {1}{4})=x^{4}-\frac {1}{16}.$；
(2)原式$=(x^{4}+y^{4})(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})=(x^{4}+y^{4})(x^{4}-y^{4})=x^{8}-y^{8}.$；
(3)原式$=(30+\frac {1}{3})×(30-\frac {1}{3})=900-\frac {1}{9}=899\frac {8}{9}.$；
(4)原式$=2023^{2}-(2023-1)×(2023+1)=2023^{2}-2023^{2}+1=1.$
13. 化简下列各式:
(1)$(2a + 1)^{2}-(1 - 2a)^{2}$； (2)$(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}(a^{2}+1)^{2}$.
答案：
(1)原式$=[(2a+1)+(1-2a)][(2a+1)-(1-2a)]=2×4a=8a.$；
(2)原式$=[(a+1)(a-1)]^{2}(a^{2}+1)^{2}=(a^{2}-1)^{2}(a^{2}+1)^{2}=[(a^{2}-1)(a^{2}+1)]^{2}=(a^{4}-1)^{2}=a^{8}-2a^{4}+1.$
14. 先化简,再求值:$(2 - a)(2 + a)-2a(a + 3)+3a^{2}$,其中$a = -\frac{1}{3}$.
答案：$(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3a^{2}=4-a^{2}-2a^{2}-6a+3a^{2}=4-6a$，当$a=-\frac {1}{3}$时，原式$=4-6×(-\frac {1}{3})=4+2=6.$
15. 观察下列等式:
$4×1 = 2^{2}-0^{2}$；
$4×2 = 3^{2}-1^{2}$；
$4×3 = 4^{2}-2^{2}$；
$4×4 = 5^{2}-3^{2}$；
……
(1)请将2020写成两个整数的平方差的形式:$2020 = ($
506
$)^{2}-($
504
$)^{2}$；
(2)用含有字母$n(n\geqslant1$,且$n\in\mathbf{N}^{*})$的等式表示这一规律是
$4n=(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$
,并用已学的知识验证这一规律；
(3)相邻两个整数的平方差一定是4的倍数吗? 说说你的理由.
解:不是 4 的倍数.理由:设相邻的两个整数分别为a,a+1.根据题意可知:$(a+1)^{2}-a^{2}=2a+1$，化简结果为奇数,故不是 4 的倍数.
答案：
(1)506 504；
(2)$4n=(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$ 证明:右边$=(n+1)^{2}-(n-1)^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}+2n-1=4n=$左边.；
(3)解:不是 4 的倍数.理由:设相邻的两个整数分别为a,a+1.根据题意可知:$(a+1)^{2}-a^{2}=2a+1$，化简结果为奇数,故不是 4 的倍数.
