1. $(1 + y)(1 - y)= $ (
C
)
A.$1 + y^{2}$
B.$-1 - y^{2}$
C.$1 - y^{2}$
D.$-1 + y^{2}$
答案：C
解析：
$(1 + y)(1 - y) = 1^2 - y^2 = 1 - y^2$
C
2. (2024春·顺德区月考)下列多项式乘法中,可以用平方差公式计算的是 (
B
)
A.$(x + 2y)(2x - y)$
B.$(x^{2}+y)(x^{2}-y)$
C.$(-x + y)(x - y)$
D.$(x + y)(y + x)$
答案：B
解析：
平方差公式为$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，需满足两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(x + 2y)(2x - y)$，各项均不同，不符合。
选项B：$(x^{2}+y)(x^{2}-y)$，$x^{2}$相同，$y$与$-y$互为相反数，符合。
选项C：$(-x + y)(x - y)=-(x - y)(x - y)$，两项均互为相反数，不符合。
选项D：$(x + y)(y + x)=(x + y)^{2}$，两项完全相同，不符合。
B
3. (1)$(x + 2y)(-x + 2y)=$
$4y^{2}-x^{2}$
； (2)$(-1 - 3x)$(
$-1+3x$
)$=1 - 9x^{2}$；
(3)$(-a + 2b)$(
$-a-2b$
)$=a^{2}-4b^{2}$； (4)$(-2a^{2}-5b)$(
$-2a^{2}+5b$
)$=4a^{4}-25b^{2}$.
答案：
(1)$4y^{2}-x^{2}$；
(2)$-1+3x$；
(3)$-a-2b$；
(4)$-2a^{2}+5b$
4. 若$a^{2}-2a - 1 = 0$,则代数式$(a + 2)(a - 2)-2a$的值为
-3
.
答案：-3
解析：
$(a + 2)(a - 2)-2a$
$=a^{2}-4 - 2a$
$=a^{2}-2a - 4$
因为$a^{2}-2a - 1 = 0$，所以$a^{2}-2a=1$。
将$a^{2}-2a=1$代入$a^{2}-2a - 4$，得$1 - 4=-3$。
-3
5. 计算:
(1)$(3y + 2x)(2x - 3y)$； (2)$(x - 2y^{2})(-2y^{2}-x)$；
(3)$(4x^{2}y-\frac{1}{2})(4x^{2}y+\frac{1}{2})$； (4)$(5a^{2}b - 2cd^{2})(5a^{2}b + 2cd^{2})$.
答案：
(1)$4x^{2}-9y^{2}$；
(2)$4y^{4}-x^{2}$；
(3)$16x^{4}y^{2}-\frac {1}{4}$；
(4)$25a^{4}b^{2}-4c^{2}d^{4}$
6. 若$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)= 35$,则$a^{2}+b^{2}= $ (
B
)
A.3
B.6
C.$\pm3$
D.$\pm6$
答案：B
解析：
设$x = a^{2} + b^{2}$，则原方程可化为$(x + 1)(x - 1) = 35$。
展开得$x^{2} - 1 = 35$，即$x^{2} = 36$，解得$x = \pm 6$。
因为$a^{2} + b^{2} \geq 0$，所以$x = 6$，即$a^{2} + b^{2} = 6$。
B
7. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“创新数”,例如,$27 = 6^{2}-3^{2}$,$63 = 8^{2}-1^{2}$,故27,63都是“创新数”,下列各数中,不是“创新数”的是 (
D
)
A.31
B.41
C.16
D.54
答案：D
解析：
设正整数$ n = a^2 - b^2$，其中$ a ＞ b$且$ a,b$为正整数，则$ n=(a - b)(a + b)$。$ a - b$与$ a + b$同奇同偶，且$ a - b ＜ a + b$。
A. 31：31为质数，$ 31=1×31$。$ a - b=1$，$ a + b=31$，解得$ a=16$，$ b=15$，$ 31=16^2 - 15^2$，是创新数。
B. 41：41为质数，$ 41=1×41$。$ a - b=1$，$ a + b=41$，解得$ a=21$，$ b=20$，$ 41=21^2 - 20^2$，是创新数。
C. 16：$ 16=2×8$（同偶）。$ a - b=2$，$ a + b=8$，解得$ a=5$，$ b=3$，$ 16=5^2 - 3^2$，是创新数。
D. 54：54分解因数：$ 1×54$（奇偶异）、$ 2×27$（奇偶异）、$ 3×18$（奇偶异）、$ 6×9$（奇偶异），均不同奇同偶，无法表示为两正整数平方差，不是创新数。
D
8. 计算$3(2^{2}+1)(2^{4}+1)…(2^{32}+1)+1$的结果的个位数字是 (
B
)
A.4
B.6
C.2
D.8
答案：B
解析：
原式$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{32}+1)+1$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)\cdots(2^{32}+1)+1$
$=(2^{8}-1)\cdots(2^{32}+1)+1$
$=2^{64}-1+1$
$=2^{64}$
$2^{1}=2$，个位数字2；$2^{2}=4$，个位数字4；$2^{3}=8$，个位数字8；$2^{4}=16$，个位数字6；$2^{5}=32$，个位数字2，周期为4。
$64÷4=16$，无余数，故$2^{64}$个位数字为6。
B
9. 如图①,在边长为$a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a ＞ b)$,把剩下部分沿图①中的虚线剪开后重新拼成一个梯形(如图②),利用这两个图形的面积,可以验证的乘法公式是 (
D
)
A.$(a - b)^{2}= a^{2}-2ab + b^{2}$
B.$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$
C.$a(a + b)= a^{2}+ab$
D.$(a + b)(a - b)= a^{2}-b^{2}$
答案：D
解析：
图①中阴影部分面积为$a^{2}-b^{2}$。
图②梯形的上底为$2b$，下底为$2a$，高为$(a - b)$，面积为$\frac{(2b + 2a)(a - b)}{2}=(a + b)(a - b)$。
因为两个图形阴影部分面积相等，所以$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$。
D
