10.(15分)如图,在$\triangle ABC$中,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.
(1)若$BC= 10$,求$\triangle ADE$的周长;
(2)若$∠BAC= 128^{\circ }$,求$∠DAE$的度数.
答案：10.解:
(1)在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴AD=BD,AE=CE.
∵BC=10,
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10.
(2)
∵AD=BD,AE=CE,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE.
∵∠BAC=128°,
∴∠B+∠C=180° - ∠BAC=180° - 128°=52°,
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=52°,
∴∠DAE=∠BAC - (∠BAD+∠CAE)=128° - 52°=76°.
11.(15分)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 45^{\circ }$,点D在AB边上,$BC= CD,DE⊥AC,BF⊥AC$,垂足分别为E,F.
(1)求证:$\triangle DCE\cong \triangle CBF$;
(2)若$AB= AC$,求证:$DE= \frac {1}{2}DB$.
答案：11.证明:
(1)
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠CFB=90°,∠BFA=90°.
∵∠A=45°,
∴∠ABF=45°.
∵BC=CD,
∴∠DBC=∠BDC.
∵∠DBC=∠ABF+∠FBC,∠BDC=∠A+∠DCE,
∴∠FBC=∠DCE.
在△DCE和△CBF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DEC=∠CFB\\ ∠ECD=∠FBC\\ CD=BC\end{array}\right.$,
∴△DCE≌△CBF(AAS).
(2)过点C作CH⊥BD于点H,如答图.
∵BC=CD,
∴∠BCH=∠DCH,BH=DH.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠FBC=∠DCE,
∴∠BCD=∠ABF=45°,
∴∠DCH=22.5°,∠BDC=(180° - 45°)÷2=67.5°,
∴∠ACD=∠BDC - ∠A=67.5° - 45°=22.5°,
∴∠ACD=∠DCH.
∵DE⊥AC,CH⊥BD,
∴DE=DH,
∴DE=$\frac{1}{2}$DB.
12.(20分)在$\triangle ABD$中,$AD= BD$,点C,E分别在BD,AD上,且$AB= AC$,连接BE,交AC于点F.
(1)如图①,AH是$\triangle ABC$底边上的中线,且$∠BAH= ∠ABE$.
①求证:$BC= 2AE$;
②如果$\triangle BCF$为等腰三角形,求$∠BAC$的度数.
(2)如图②,连接CE并延长,交BA的延长线于点G,如果$CE⊥BD,AE= CD$,求证:$EG= AD$.
答案：12.
(1)①证明:
∵AD=BD,
∴∠EAB=∠HBA.
在△ABH和△BAE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAH=∠ABE\\ AB=BA\\ ∠ABH=∠BAE\end{array}\right.$,
∴△ABH≌△BAE(ASA),
∴BH=AE.
∵AH是△ABC底边上的中线,AB=AC,
∴BH=CH,
∴BC=2BH=2AE.
②解:当BF=BC时,△BCF为等腰三角形,
∴∠BFC=∠BCF,
∴∠ABC=∠BFC=∠BCF.
∵AH是△ABC底边上的中线,AB=AC,
∴∠BAH=∠CAH,
∴∠BAH=∠ABE=∠CAH,
∴∠BFC=∠BAH+∠ABE+∠CAH=3∠BAH.
∵∠BCF=90° - ∠CAH=90° - ∠BAH,
∴3∠BAH=90° - ∠BAH,
∴2∠BAH=45°,
即∠BAC=45°.
当BC=CF时,△BCF为等腰三角形,
∴∠BFC=∠CBF=3∠BAH,
∴∠ABC=∠ACB=4∠BAH,
∴5∠BAH=90°,
∴∠BAH=18°,
∴∠BAC=2×18°=36°.
由题意易知BF≠FC.
综上所述，∠BAC的度数为45°或36°.
(2)证明:如答图,作△ABC底边上的中线AH.
∵AB=AC,
∴AH⊥BD,
∴∠BAH=∠CAH.
∵CE⊥BD,
∴AH//CE,
∴∠BAH=∠G,∠CAH=∠ACG,
∴∠ACG=∠G,
∴AC=AG.
∵∠GAE=180° - ∠DAB=180° - ∠ABD=180° - (90° - ∠BAH)=90°+∠BAH=90°+∠CAH,
∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠CAH+90°,
∴∠GAE=∠ACD.
在△GAE和△ACD中,$\left\{\begin{array}{l} AG=CA\\ ∠GAE=∠ACD\\ AE=CD\end{array}\right.$,
∴△GAE≌△ACD(SAS),
∴EG=AD.
