1.如图,四个图案具有一个共有的性质,则下面四个数字中,满足上述性质的是 (
C
)
A.6
B.7
C.8
D.9
答案：C
2.如图,在等腰三角形ABC中,$AB= AC,∠BAC= 40^{\circ }$,中线AD与角平分线CE交于点F,则$∠CFD$的度数为 (
B
)
A.$25^{\circ }$
B.$35^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$55^{\circ }$
答案：1. 首先，根据等腰三角形的性质：
因为$AB = AC$，$AD$是中线，根据等腰三角形“三线合一”（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），所以$AD\perp BC$，即$\angle ADC = 90^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，$\angle BAC=40^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle ACB+\angle BAC = 180^{\circ}$，且$\angle B=\angle ACB$，则$\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$。
把$\angle BAC = 40^{\circ}$代入$\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$，可得$\angle ACB=\frac{1}{2}(180 - 40)^{\circ}=70^{\circ}$。
2. 然后，因为$CE$是角平分线：
所以$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$（角平分线定义）。
把$\angle ACB = 70^{\circ}$代入$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$，得$\angle ECB=\frac{1}{2}×70^{\circ}=35^{\circ}$。
3. 最后，在$\triangle DFC$中：
根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），在$\triangle DFC$中，$\angle CFD+\angle FCD=\angle ADC$。
已知$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle FCD=\angle ECB = 35^{\circ}$，则$\angle CFD=\angle ADC-\angle FCD$。
所以$\angle CFD=90^{\circ}-35^{\circ}=35^{\circ}$。
综上，答案是B。
解析：
在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。
∵CE是角平分线，
∴∠ACE=∠ACB/2=35°。
∵AD是中线，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，∠BAD=∠CAD=40°/2=20°。
在△AFC中，∠AFC=180°-∠CAD-∠ACE=180°-20°-35°=125°。
∵∠CFD+∠AFC=180°，
∴∠CFD=180°-125°=55°。
D
3.如图,在$\triangle ABC$中,E是BC上一点,$AE= AB$,EF垂直平分AC,$AD⊥BC$于点D.若$\triangle ABC$的周长为18 cm,$AC= 7cm$,则DC的长为 (
C
)
A.4.5 cm
B.5 cm
C.5.5 cm
D.6 cm
答案：C
4.(2024春·牡丹区期末)如图,在正方形网格内,A,B两点都在小正方形的顶点上,如果点C也是图中小正方形的顶点,且$\triangle ABC$是等腰三角形,那么点C的个数为 (
C
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：
以A为顶点：AB为腰，在网格中找到与B关于A对称或满足AC=AB的点，无符合条件的点。
以B为顶点：BA为腰，同理，无符合条件的点。
以C为顶点：CA=CB，作AB的垂直平分线，与网格顶点交于3个点。
综上，点C的个数为3。
C
5.若点$P(m-1,5)与点Q(3,2-n)$关于y轴对称,则$m+n$的值是
−5
.
答案：−5
解析：
因为点$P(m - 1,5)$与点$Q(3,2 - n)$关于$y$轴对称，所以横坐标互为相反数，纵坐标相等。
可得：$m - 1 = -3$，$2 - n = 5$。
由$m - 1 = -3$，解得$m = -3 + 1 = -2$。
由$2 - n = 5$，解得$n = 2 - 5 = -3$。
则$m + n = -2 + (-3) = -5$。
$-5$
6.已知等腰三角形的两边长分别为x和y,且x和y满足$|x-3|+(y-1)^{2}= 0$,则这个等腰三角形的周长为
7
.
答案：7
解析：
因为$|x - 3| + (y - 1)^2 = 0$，绝对值和平方数具有非负性，所以$x - 3 = 0$，$y - 1 = 0$，解得$x = 3$，$y = 1$。
等腰三角形的两边长为$3$和$1$，分两种情况：
当腰长为$1$时，三边长为$1$，$1$，$3$。因为$1 + 1 = 2 ＜ 3$，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况不成立。
当腰长为$3$时，三边长为$3$，$3$，$1$。因为$3 + 1 = 4 ＞ 3$，$3 + 3 = 6 ＞ 1$，满足三角形三边关系，此时周长为$3 + 3 + 1 = 7$。
7
7.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC$于点D,$DE⊥AC$于点E,$CF⊥AB$于点F.若$DE= 4$,则CF的长为______
8
.
答案：8
解析：
连接DF，设AB=AC=2a。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD。
∵DE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AED=∠AFC=90°。
在△ADE和△AFC中，∠DAE=∠CAF，∠AED=∠AFC，
∴△ADE∽△AFC，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{AC}$。
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△ADE∽△ACD，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AE\cdot AC$。
设AE=x，则$AD^2=2a\cdot x$。
在Rt△ADE中，$AD^2=AE^2+DE^2=x^2+16$，
∴$2a\cdot x=x^2+16$。
又
∵S△ADC=$\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}AC\cdot DE$，$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{4a^2-(x^2+16)}$，
$\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 4=4a$，即$AD\cdot DC=8a$。
$AD^2\cdot DC^2=64a^2$，$(x^2+16)(4a^2-x^2-16)=64a^2$。
由$2a\cdot x=x^2+16$得$x=\frac{x^2+16}{2a}$，代入上式化简得$a=2x$。
则$AD^2=2a\cdot x=4x^2$，$AD=2x$。
在Rt△ADE中，$AD^2=AE^2+DE^2$，$4x^2=x^2+16$，$x^2=\frac{16}{3}$，$AD=2x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，$AC=2a=4x=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴CF=2DE=8。
8
8.如图,在$\triangle ABC$中,AD平分$∠BAC,CD⊥AD$.若$∠ABC与∠ACD$互补,$CD= 5$,则BC的长为
10
.
答案：10
解析：
延长CD交AB于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD。
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°。
在△ADE和△ADC中，
∠EAD=∠CAD，AD=AD，∠ADE=∠ADC，
∴△ADE≌△ADC(ASA)。
∴DE=CD=5，∠AED=∠ACD。
∴CE=CD+DE=10。
∵∠ABC与∠ACD互补，∠AED=∠ACD，
∴∠ABC+∠AED=180°。
∵∠AED+∠BEC=180°，
∴∠ABC=∠BEC。
∴BC=CE=10。
10
9.如图,在锐角三角形ABC中,$∠A= 30^{\circ },BC= 3,S_{\triangle ABC}= 8$,P是边BC上的一动点,点P关于直线AB,AC的对称点分别是M,N,连接MN,则MN的最小值为______
$\frac{16}{3}$
.
答案：$\frac{16}{3}$
解析：
连接AM、AN、AP，过点B作BD⊥AC于点D。
在Rt△ABD中，∠A=30°，设BD=h，则AB=2h。
S△ABC=$\frac{1}{2}×AC×BD$=8，即$\frac{1}{2}×AC×h$=8，得AC×h=16。
点P关于AB、AC的对称点为M、N，
∴AM=AP，AN=AP，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC。
∠MAN=∠MAB+∠PAB+∠NAC+∠PAC=2(∠PAB+∠PAC)=2∠BAC=60°。
∴△AMN是等边三角形，MN=AM=AP。
当AP⊥BC时，AP最小。
S△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AP$=8，BC=3，
∴$\frac{1}{2}×3×AP$=8，AP=$\frac{16}{3}$。
MN的最小值为$\frac{16}{3}$。
