6. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$D$,$E分别为AB$,$BC$边上的点,$DE = EF$,$\angle DEF = 60^{\circ}$。
(1)如图①,若点$F在AC$边上,求证：$AD = CF$；
(2)如图②,$O是BC$的中点,点$H在\triangle ABC$内,$\angle BHC = 120^{\circ}$,点$M$,$N分别在CH$,$BH$上,$MO \perp NO$,若$\angle CAM = \alpha$,直接写出$\angle BAN$的度数(用含$\alpha$的式子表示)。
答案：
(1)证明:如答图①,连接DF;
∵DE=EF,∠DEF=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴DF=EF.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°,
∵∠AFE=∠AFD+∠DFE=60°+∠AFD,∠AFE=∠C+∠FEC=60°+∠FEC,
∴∠AFD=∠FEC.又∠A=∠C,DF=EF,
∴△ADF≌△CFE(AAS),
∴AD=CF；
(2)解:如答图②,延长MO到点G,使OG=OM,连接NG,BG,NM,作∠ACQ=∠ABN,且使CQ=BN,连接MQ,AQ.
∵MO⊥NO,OM=OG,
∴NG=MN;
∵MO=OG,BO=OC,∠MOC=∠BOG,
∴△BOG≌△COM(SAS),
∴BG=CM,∠GBO=∠OCM,
∴BG//CM,
∴∠NBG=180°−∠BHC=60°.
∵∠BHC=120°,
∴∠HBC+∠HCB=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
∴∠ABH+∠HBC=60°,∠ACH+∠HCB=60°,
∴∠ABH=∠HCB,∠HBC=∠ACH.
∵∠ACQ=∠ABN,AB=AC,BN=CQ,
∴△ACQ≌△ABN(SAS),
∴AN=AQ,∠BAN=∠CAQ
∵∠ACB=∠ACH+∠BCH=60°,∠ABN=∠BCH=∠ACQ,
∴∠NCQ=∠ACM+∠ACQ=∠ACH+∠BCH=60°=∠NBG,又BN=CQ,BG=CM,
∴△BNG≌△CQM(SAS),
∴NG=MQ.
∵NG=NM,
∴MQ=MN.
∵AN=AQ,AM=AM,
∴△NAM≌△QAM(SSS),
∴∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM +∠BAN.
∵∠NAM+∠CAM+∠BAN=60°,
∴∠CAM+∠BAN=30°.
∵∠CAM=α,
∴∠BAN=30°−α.
7. 如图，已知$AB = AC$，直线$m$经过点$A$，点$D$，$E$是直线$m$上的两个动点，连接$BD$，$CE$。
(1)如图①，若$\angle BAC = 90^{\circ}$，$BD \perp DE$，$CE \perp DE$，求证：$DE = BD + CE$；
(2)如图②，若$\angle BAC = \angle BDA = \angle AEC$，则(1)中的结论$DE = BD + CE$还成立吗？请说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，$F$为$\angle BAC$的平分线上的一点，且$\triangle ABF$和$\triangle ACF$均为等边三角形，试判断$\triangle DEF$的形状，并说明理由。
答案：
(1)证明:
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵BD⊥AD,
∴∠BDA=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠CAE;
∵CE⊥DE,
∴∠CEA=90°,
∴∠ADB=∠CEA.
∵AB=AC,
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴AD=CE,BD=AE;
∵DE=DA+AE,
∴DE=BD+CE；
(2)解:
(1)中的结论DE=BD+CE仍然成立.理由如下:
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°,∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°,
∴∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠ACE+∠AEC.
∵∠BAC=∠AEC,
∴∠DAB=∠ACE;
∵AB=AC,∠BDA=∠AEC,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AD=CE,BD=AE;
∵DE=DA+AE,
∴DE=BD+CE；
(3)解:△DEF是等边三角形.理由如下:
∵△ADB≌△CEA,
∴∠DBA=∠EAC,BD=EA.
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴BF=AB=AF=AC=CF,∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠ABF+∠DBA=∠CAF+∠EAC,
∴∠DBF=∠EAF,
∴△FDB≌△FEA(SAS),
∴DF=EF,∠DFB=∠EFA.
∵∠DFB+∠DFA=60°,
∴∠EFA+∠DFA=60°,即∠DFE=60°,
∴△DFE是等边三角形.
