1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AC = 3$,则$AB$的长为(
C
)
A.1.5
B.3
C.6
D.9
答案：C
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，所以$\angle A=60^{\circ}$。
因为在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，$\angle B=30^{\circ}$，其对边为$AC$，斜边为$AB$，所以$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AC=3$，则$AB=2AC=2×3=6$。
C
2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC \lt AC$。点$D$,$E分别在边AB$,$BC$上,连接$DE$,将$\triangle BDE沿DE$折叠,点$B的对应点为点B'$。若点$B'刚好落在边AC$上,$\angle CB'E = 30^{\circ}$,$CE = 3$,则$BC$的长为______
9
。
答案：9
解析：
设$BE = x$，则$BC=BE + CE=x + 3$。
由折叠性质得$B'E=BE=x$。
在$Rt\triangle B'CE$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle CB'E = 30^{\circ}$，$CE = 3$，
$\because$在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore CE=\frac{1}{2}B'E$，即$3=\frac{1}{2}x$，解得$x = 6$。
$\therefore BC=x + 3=6 + 3=9$。
9
3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,边$AB的垂直平分线DE交AC于点D$,交$AB于点E$。若$CD = 10\ cm$,则$AD = $
20
$cm$。
答案：20
解析：
连接BD。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°。
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBD=∠ABC - ∠ABD=60° - 30°=30°。
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠CBD=30°，CD=10 cm，
∴BD=2CD=2×10=20 cm，
∴AD=BD=20 cm。
20
4. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$BD$是中线,延长$BC至点E$,使$CE = CD$,$DF \perp BE$,垂足为$F$。
(1)求证：$CE = 2CF$；
(2)若$CF = 2$,求$\triangle ABC$的周长。
答案：
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵DF⊥BE,
∴∠DFC=90°,∠FDC=90°−∠ACB=30°,
∴DC=2CF;
∵CE=CD,
∴CE=2CF.
(2)解:
∵CF=2,由
(1)知CE=2CF,
∴DC=2CF=4.
∵△ABC为等边三角形,BD是中线,
∴AB=BC=AC=2DC=8,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+8+8=24.
5. (2024春·威海期末)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AB = 3$,$BC = 6$,点$E在BA$的延长线上,点$D在BC$边上,且$ED = EC$。若$AE = 5$,则$BD$的长等于(
C
)
A.3
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
答案：C
解析：
设$BD=x$，则$DC=BC - BD=6 - x$。
$\because AB=3$，$AE=5$，$\therefore EB=EA + AB=5 + 3=8$。
过点$E$作$EF\perp BC$于点$F$。
在$Rt\triangle EBF$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$EB=8$，
$\therefore BF=EB\cdot\cos60^{\circ}=8×\frac{1}{2}=4$，
$EF=EB\cdot\sin60^{\circ}=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
$\therefore FD=BF - BD=4 - x$，$FC=BC - BF=6 - 4=2$。
在$Rt\triangle EFD$中，$ED^{2}=EF^{2}+FD^{2}=(4\sqrt{3})^{2}+(4 - x)^{2}=48 + (4 - x)^{2}$。
在$Rt\triangle EFC$中，$EC^{2}=EF^{2}+FC^{2}=(4\sqrt{3})^{2}+2^{2}=48 + 4=52$。
$\because ED = EC$，$\therefore ED^{2}=EC^{2}$，
即$48 + (4 - x)^{2}=52$，
$(4 - x)^{2}=4$，
$4 - x=\pm2$。
解得$x=2$或$x=6$。
$\because$点$D$在$BC$边上，$BC=6$，$\therefore x=6$时$D$与$C$重合，舍去。
$\therefore x=2$，即$BD=2$。
C
6. (2024春·沈阳月考)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,以点$A$为圆心,适当长为半径作弧,在边$AB$,$AC上截取AD$,$AE$；然后分别以点$D$,$E$为圆心,以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧在$\angle CAB内交于点F$；作射线$AF交BC于点G$。若$BG = 2$,$P为边AB$上一动点,则$GP$的最小值为______
1
。
答案：1
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，则$\angle CAB=60^{\circ}$。
由作图可知，$AF$平分$\angle CAB$，所以$\angle CAG=\angle BAG=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACG$中，$\angle CAG=30^{\circ}$，设$CG=x$，则$AG=2x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B=30^{\circ}$，所以$AB=2AC$。
在$Rt\triangle BCG$中，$BG=2$，$\angle B=30^{\circ}$，则$CG=\frac{1}{2}BG=1$。
因为点$P$为边$AB$上一动点，所以$GP$的最小值为点$G$到$AB$的距离。
在$Rt\triangle AGP$中，$\angle BAG=30^{\circ}$，$AG=2CG=2$，则$GP$的最小值为$\frac{1}{2}AG=1$。
$1$
7. 如图,$\angle AOB = 15^{\circ}$,$P是OA$上一点,点$P与点P'关于OB$对称,作$P'M \perp OA于点M$,$OP = 4$,则$MP'$的长为
2
。
答案：2
解析：
连接$OP'$。
因为点$P$与点$P'$关于$OB$对称，所以$OB$垂直平分$PP'$，则$OP=OP'=4$，$\angle POB=\angle P'OB=15^{\circ}$。
所以$\angle P'OP=\angle POB+\angle P'OB=15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$P'M\perp OA$，所以$\triangle P'MO$是直角三角形，且$\angle P'MO=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle P'MO$中，$\angle P'OM=30^{\circ}$，$OP'=4$，所以$MP'=\frac{1}{2}OP'=\frac{1}{2}×4=2$。
2
