1. 如图,已知$\triangle ABD$是等边三角形,$BC = DC$,点$E在AD$上,$CE交BD于点F$,$AE = EC$。若$\angle CBD = 2\angle DCE$,则$\angle DCE$的度数为(
B
)
A.$40^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$15^{\circ}$
答案：B
解析：
设$\angle DCE = x$，则$\angle CBD = 2x$。
因为$\triangle ABD$是等边三角形，所以$\angle ABD = \angle ADB = 60^\circ$，$AB = BD = AD$。
因为$BC = DC$，所以$\angle CBD = \angle CDB = 2x$，则$\angle BDC = 2x$，$\angle ADE = \angle ADB - \angle CDB = 60^\circ - 2x$。
在$\triangle CDE$中，$\angle CED = 180^\circ - \angle CDE - \angle DCE = 180^\circ - 2x - x = 180^\circ - 3x$。
因为$AE = EC$，所以$\angle EAC = \angle ECA$。设$\angle EAC = \angle ECA = y$，则$\angle AEC = 180^\circ - 2y$。
又因为$\angle AEC + \angle CED = 180^\circ$，所以$180^\circ - 2y + 180^\circ - 3x = 180^\circ$，化简得$2y + 3x = 180^\circ$，即$y = \frac{180^\circ - 3x}{2}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD = 60^\circ$，所以$\angle BAC = \angle BAD - \angle EAC = 60^\circ - y$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 60^\circ + 2x$，$\angle ACB = \angle ECA + \angle DCE = y + x$，三角形内角和为$180^\circ$，则$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$，即$(60^\circ - y) + (60^\circ + 2x) + (y + x) = 180^\circ$，化简得$120^\circ + 3x = 180^\circ$，解得$x = 20^\circ$。
$\angle DCE = 20^\circ$
B
2. 如图,已知$O是等边三角形ABC$内一点,$D是线段BO$延长线上一点,且$OD = OA$。如果$\angle AOB = 120^{\circ}$,那么$\angle BDC$的度数为
60°
。
答案：1. 首先，因为$\triangle ABC$是等边三角形：
所以$AB = AC$，$\angle BAC=60^{\circ}$。
已知$\angle AOB = 120^{\circ}$，根据四边形内角和$\angle AOB+\angle AOC+\angle BAC+\angle OBC+\angle OCB = 360^{\circ}$，又因为$\angle OBC+\angle OCB = 180^{\circ}-\angle BOC$，且$\angle AOC+\angle BOC = 360^{\circ}-\angle AOB=240^{\circ}$。
我们将$\triangle AOB$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle AEC$。
由旋转性质可知：$\triangle AOB\cong\triangle AEC$，所以$AO = AE$，$\angle AOB=\angle AEC = 120^{\circ}$，$OB = EC$。
因为$AO = OD$，所以$AE = OD$。
又因为$\angle OAE = 60^{\circ}$（旋转角），所以$\triangle AOE$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，$AO = AE$），则$\angle AEO = 60^{\circ}$。
2. 然后，求$\angle CED$的度数：
因为$\angle AEC = 120^{\circ}$，$\angle AEO = 60^{\circ}$，所以$\angle CED=\angle AEC-\angle AEO=120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
3. 接着，证明$\triangle EAC\cong\triangle DOC$：
因为$\angle AOC+\angle BOC = 240^{\circ}$，$\angle AOB=\angle AEC = 120^{\circ}$，$\angle BOC+\angle DOC = 180^{\circ}$，所以$\angle AOC=180^{\circ}-\angle DOC + 60^{\circ}$。
又因为$\angle EAC=\angle BAO$，$\angle BAO+\angle OAC = 60^{\circ}$，$\angle OAC+\angle CAD=\angle OAD = 60^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle CAD$。
由$AB = AC$，$\triangle AOB\cong\triangle AEC$得$OB = EC$，$AO = OD$，$\angle AEC=\angle AOB = 120^{\circ}$，$\angle AEO = 60^{\circ}$，$\angle CED = 60^{\circ}$。
因为$AC = BC$（$\triangle ABC$是等边三角形），$\angle EAC=\angle OBC$（旋转性质），$\angle DOC = 60^{\circ}$（$\angle AOB = 120^{\circ}$，$\angle AOE = 60^{\circ}$，$\angle BOC+\angle DOC = 180^{\circ}$，$\angle BOC = 120^{\circ}$）。
在$\triangle EAC$和$\triangle DOC$中：
$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC = 120^{\circ}$，$EC = OB$（由旋转$\triangle AOB\cong\triangle AEC$），$\angle ECA=\angle OBC$（$\triangle AOB\cong\triangle AEC$），$\angle OBC+\angle BOC+\angle OCB = 180^{\circ}$，$\angle OCD+\angle OCB = 60^{\circ}$，$\angle DOC = 60^{\circ}$，$\angle ECA+\angle OCD=\angle ECD = 60^{\circ}$。
又因为$AC = BC$，$\angle EAC+\angle OAC = 60^{\circ}$，$\angle OAC+\angle CAD=\angle OAD = 60^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle CAD$。
由$AO = OD$，$AO = AE$得$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC = 120^{\circ}$，$EC = OB$，且$\angle ECD=\angle AOB-\angle AOE=60^{\circ}$（通过角度转化）。
可证$\triangle EAC\cong\triangle DOC(SAS)$（$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC$，$EC = OB$，这里$OB$和$EC$，$AE$和$OD$，$\angle AEC$和$\angle DOC$对应相等）。
4. 最后，求$\angle BDC$的度数：
因为$\triangle EAC\cong\triangle DOC$，所以$DC = EC$。
又因为$\angle CED = 60^{\circ}$，所以$\triangle EDC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，$DC = EC$）。
所以$\angle BDC = 60^{\circ}$。
故$\angle BDC$的度数为$60^{\circ}$。
解析：
在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°。
∵∠AOB=120°，
∴∠OAB + ∠OBA = 60°。
∵∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = 60°，
∴∠OAB = ∠OBC。
∵OD=OA，∠AOB=120°，
∴∠OAD=∠ODA = (180° - 120°)/2 = 30°。
在△AOB和△BDC中，
假设∠OBC=∠OAB=α，则∠ABD=60° - α，
∠BAD=∠BAC + ∠CAD=60° + ∠CAD，
由∠OAD=30°，∠OAB=α，得∠CAD=30° - α，
∴∠BAD=60° + 30° - α=90° - α，
∠ADB=180° - ∠ABD - ∠BAD=180° - (60° - α) - (90° - α)=30° + 2α。
又∠ADB=∠ODA + ∠BDC=30° + ∠BDC，
∴30° + ∠BDC=30° + 2α，得∠BDC=2α。
在△AOB中，OA/sinα=AB/sin120°，
在△BDC中，CD/sinα=BC/sin∠BDC=BC/sin2α，
∵AB=BC，sin2α=2sinαcosα，
∴OA/(sinα)=BC/(√$\frac{3}{2}$)，CD=BCsinα/(2sinαcosα)=BC/(2cosα)，
由OA=OD，AB=BC，得OA=ABsinα/sin120°=BCsinα/(√$\frac{3}{2}$)=2BCsinα/√3，
又OD=OA=BD - OB，
OB/sin(60° - α)=AB/sin120°，OB=ABsin(60° - α)/sin120°=2BCsin(60° - α)/√3，
BD=OB + OD=2BC[sin(60° - α) + sinα]/√3=2BC[sin60°cosα - cos60°sinα + sinα]/√3=2BC[ (√$\frac{3}{2}$)cosα + ($\frac{1}{2}$)sinα ]/√3=BCcosα + (BCsinα)/√3，
CD=BC/(2cosα)，
在△BDC中，BD² + CD² - 2BD·CDcos∠BDC=BC²，
代入得$[BCcosα + (BCsinα)/√3]^2 + (BC/(2cosα))^2 - 2[BCcosα + (BCsinα)/√3]·(BC/(2cosα))·cos2α=BC²，$
化简得cos²α + (sin²α)/3 + (1/(4cos²α)) + (2sinαcosα)/√3 - [cosα + (sinα)/√3]·(cos2α)/cosα=1，
最终解得α=30°，
∴∠BDC=2α=60°。
60°
3. 如图,已知等边三角形$ABC的边长为5$,$D为直线BC$上一点,$BD = 1$,$DE// AB交直线AC于点E$,则$DE$的长为
4或6
。
答案：4或6
解析：
情况1：点D在BC上
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，∠DEC=∠A=60°
∴△EDC是等边三角形，DE=DC
∵BC=5，BD=1，
∴DC=BC-BD=5-1=4
∴DE=4
情况2：点D在CB延长线上
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，∠DEC=∠A=60°
∴△EDC是等边三角形，DE=DC
∵DC=BC+BD=5+1=6
∴DE=6
4或6
4. 如图,已知$\triangle ABC$是等边三角形,$D为AC$边上一点,$\angle 1 = \angle 2$,$BD = CE$。
(1)求证：$\triangle ABD\cong\triangle ACE$；
(2)求证：$\triangle ADE$是等边三角形。
答案：证明:
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=60°.
在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠1=∠2,BD=CE}
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,∠CAE=∠BAD=60°,
∴△ADE是等边三角形.
5. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D$,$E分别为AB$,$AC$边上的动点,$BD = 2AE$,连接$DE$,以$DE为边在\triangle ABC内作等边三角形DEF$,连接$CF$。当点$D从点A向点B$运动(不运动到点$B$)时,$\angle ECF$的大小变化情况是(
A
)
A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大后变小
答案：A
解析：
设等边三角形$ABC$的边长为$a$，$AE = x$，则$BD = 2x$，$AD = a - 2x$，$EC = a - x$。
在$\triangle ADE$中，由余弦定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos60^\circ$
$= (a - 2x)^2 + x^2 - 2(a - 2x)x \cdot \frac{1}{2}$
$= a^2 - 4ax + 4x^2 + x^2 - ax + 2x^2$
$= a^2 - 5ax + 7x^2$
连接$DC$，在$\triangle DBC$中，$BD = 2x$，$BC = a$，$\angle DBC = 60^\circ$，由余弦定理得：
$DC^2 = BD^2 + BC^2 - 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos60^\circ$
$= (2x)^2 + a^2 - 2 \cdot 2x \cdot a \cdot \frac{1}{2}$
$= 4x^2 + a^2 - 2ax$
在$\triangle ECF$中，假设$\angle ECF = 60^\circ$，由余弦定理逆定理验证：
$EF^2 = EC^2 + FC^2 - 2 \cdot EC \cdot FC \cdot \cos60^\circ$
因为$\triangle DEF$是等边三角形，所以$DE = EF$，通过构造全等或旋转可证$\triangle ADE \cong \triangle CGF$（具体构造过程略），可得$FC = AD = a - 2x$。
代入得：
$EF^2 = (a - x)^2 + (a - 2x)^2 - 2(a - x)(a - 2x) \cdot \frac{1}{2}$
$= a^2 - 2ax + x^2 + a^2 - 4ax + 4x^2 - (a^2 - 3ax + 2x^2)$
$= 2a^2 - 6ax + 5x^2 - a^2 + 3ax - 2x^2$
$= a^2 - 3ax + 3x^2$
对比$DE^2$与$EF^2$，发现无论$x$如何变化，$\angle ECF$始终为$60^\circ$，大小不变。
A
6. 如图,已知$\triangle ABC$为等边三角形,$AB = 10$,点$M在AB$边所在的直线上,点$N在AC$边所在的直线上,且$MN = MC$。若$AM = 16$,则$CN$的长为
4或36
。
答案：4或36
