2025年启东中学作业本八年级数学上册人教版第67页解析答案

3. 如图,I为$\triangle ABC$的三个内角的平分线的交点,$AC= 4,BC= 6,AB= 5$.将$∠ACB$平移,使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为______

答案：5

4. 如图,在$\triangle ABC$中,D,E分别是AB,AC边上的点,$\triangle ADC\cong \triangle ADC',\triangle AEB\cong \triangle AEB'$,且$C'D// EB'// BC$,BE与CD交于点F.若$∠BAC= 40^{\circ }$,则$∠BFC$的大小是______

100°

答案：100°

5. 如图,在$\triangle ABC$中,AD平分$∠BAC$,E是BC上一点,$BE= CD,EF// AD$交AB于点F,交CA的延长线于点P,$CH// AB$交AD的延长线于点H.
(1)求证:$\triangle APF$是等腰三角形;
(2)猜想AB与PC的数量关系,并证明你的猜想.

答案：

(1)证明:如答图.
∵EF//AD,
∴∠1=∠4,∠2=∠P.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠4=∠P,
∴AF=AP,即△APF是等腰三角形.
(2)解:AB=PC;证明如下:
∵CH//AB,
∴∠5=∠B,∠H=∠1.
∵EF//AD,
∴∠1=∠3,
∴∠H=∠3.
在△BEF和△CDH中，∠B=∠5，∠3=∠H，BE=CD，
∴△BEF≌△CDH(AAS),
∴BF=CH.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠H,
∴AC=CH,
∴AC=BF.
∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,
∴AB=PC;
　　　　　　　　

6. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BCA= 90^{\circ },∠BAC= \alpha ,BM// AC,∠BAC$的平分线交BM于点F,$∠ABF$的平分线交AF于点E,连接EC.
(1)求证:$AE= EF$;
(2)当$BE= AC$时,请求出α的值.

答案：

(1)证明:
∵BM//AC,AF平分∠BAC,
∴∠AFB=∠FAC=∠FAB,
∴AB=BF.
∵BE平分∠ABF,
∴AE=EF.
(2)解:如答图，设BC与AE相交于点D.
　　　　　　

由
(1)可知BE⊥AF.
在△ACD和△BED中，∠ADC=∠BDE，∠ACD=∠BED，AC=BE，
∴△ACD≌△BED(AAS),
∴∠CAD=∠EBD,AD=BD.
∴∠BAD=∠DBA.
∵AF平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD.
∴∠CBA=∠BAD=∠CAD.
∵BC⊥AC,
∴∠CAD=∠BAD=∠CBA=30°,
∴∠BAC=60°,即α=60°.