2. 如图①,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 45^{\circ },BD⊥AC$,P为边AB上一点(不与点A,B重合),$PM⊥BC$,垂足为M,交BD于点N.
(1)试猜想PN与BM之间的数量关系,并证明.
(2)若P为边AB延长线上一点,$PM⊥BC$所在直线,垂足为M,交DB的延长线于点N,请在图②中画出图形,并判断(1)中的结论是否成立.若成立,请证明;若不成立,请写出你的猜想并证明.
类型二 利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
方法技巧:有角平分线时,常过角平分线上一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形.
基本图形:如图,若$∠1= ∠2,AC// OB$,则$\triangle OAC$为等腰三角形.
答案：解:
(1)PN=2BM.证明如下:
如答图①,作PF//AC交BC于点F,交BD于点E.
∵BD⊥AC,PF//AC,
∴PF⊥BD,∠BPE=∠A=45°,
∴∠BEP=90°,∠PBE=∠BPE=45°,
∴BE=PE.
∵PM⊥BC,
∴∠PMB=∠PEN=90°.
∵∠BNM=∠PNE,
∴∠NPE=∠EBF;
∵∠PEN=∠BEF=90°,
∴△PEN≌△BEF(ASA),
∴PN=BF;
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C;
∵PF//AC,
∴∠PFB=∠C,
∴∠PFB=∠PBF,
∴PB=PF.
∵PM⊥BF,
∴BM=MF,
∴PN=2BM;
(2)结论成立.证明如下:
如答图②,作PE//AC交CM的延长线于点E,交DN的延长线于点F.
∵PF//AC,BD⊥AC,
∴BF⊥EP.
∴∠ABD=∠PBF=∠BPF=45°,
∴BF=PF;
∵∠E+∠EBF=90°,∠E+∠EPM=90°,
∴∠EBF=∠EPM;
∵∠EFB=∠NFP,BF=PF,
∴△BFE≌△PFN(ASA),
∴BE=PN;
∵∠E=∠C=∠ABC=∠PBE,
∴PE=PB.
∵PM⊥EB,
∴EM=BM,
∴PN=2BM.
