1.(2024春·南山区期末)如图,三座商场分别坐落在点A,B,C处,现要规划一个地铁站,使得该地铁站到三座商场的距离相等,则该地铁站应建在(
D
)
A.三角形三条中线的交点处
B.三角形三条高所在直线的交点处
C.三角形三条角平分线的交点处
D.三角形三边的垂直平分线的交点处
答案：D
解析：
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，三座商场分别在点A,B,C处，即求到A,B,C三点距离相等的点，所以该地铁站应建在三角形三边的垂直平分线的交点处。
D
2.如图,已知点D在AB的中垂线MN上,如果AC= 5,BC= 3,那么△BDC的周长是(
A
)
A.8
B.7
C.6
D.无法确定
答案：A
解析：
∵点D在AB的中垂线MN上，
∴AD=BD，
∵AC=5，BC=3，
∴△BDC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=5+3=8。
A
3.下列命题的逆命题是真命题的是(
C
)
A.若a＞0,b＞0,则a+b＞0
B.直角都相等
C.同位角相等,两直线平行
D.三角形的外角和为360°
答案：C
4.如图,△ABC中,边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AE= 3 cm,△ADC的周长为9 cm,则△ABC的周长是
15
cm.
答案：15
解析：
∵DE是AB的垂直平分线，AE=3 cm，
∴AB=2AE=6 cm，BD=AD。
∵△ADC的周长为9 cm，
∴AD+DC+AC=9 cm。
∵BD=AD，
∴BD+DC+AC=BC+AC=9 cm。
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+9=15 cm。
15
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,DE是AB的垂直平分线,交BC于点E,连接CD,AE.
(1)若△ABC的周长是14,AD的长是3,求△AEC的周长;
(2)若∠B= 30°,求证:点E在线段CD的垂直平分线上.
答案：
(1)解:
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE,AD=BD.
∵AD=3,
∴AB=6.
∵△ABC的周长是14,
∴AC+BC=8.
$∴C_{△AEC}=AC+CE+AE=AC+BC=8,$
∴△AEC的周长为8.
(2)证明:
∵AE=BE,
∴∠BAE=∠B=30°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAE=∠CAE=30°.
∵∠ADE=∠ACE=90°,AE=AE,
∴△ADE≌△ACE(AAS),
∴DE=CE,
即点E在线段CD的垂直平分线上.
6.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,交BC于点D,交AC于点E,△ABD的周长为35 cm,AE= 12 cm,则△ABC的周长为(
B
)
A.47 cm
B.59 cm
C.49 cm
D.82 cm
答案：B
解析：
∵DE是AC的垂直平分线，AE=12 cm，
∴AD=DC，AC=2AE=2×12=24 cm。
∵△ABD的周长为35 cm，
∴AB+BD+AD=35 cm。
∵AD=DC，
∴AB+BD+DC=AB+BC=35 cm。
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=35+24=59 cm。
B
