1. 已知$\triangle ABC$,两个完全一样的三角板如图方式摆放,它们的一组对应直角边分别在$AB$,$AC$上,且这组对应直角边所对的顶点重合于点$M$,点$M$一定在(
A
)
A.$\angle A$的平分线上
B.$AC$边的高上
C.$BC$边的垂直平分线上
D.$AB$边的中线上
答案：A
解析：
过点$M$作$MD \perp AB$于点$D$，$ME \perp AC$于点$E$。
因为两个三角板完全一样，且一组对应直角边分别在$AB$，$AC$上，对应直角边所对顶点重合于$M$，所以$MD = ME$。
根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，故点$M$在$\angle A$的平分线上。
A
2. 如图,在$\triangle ABC$中,$O是\triangle ABC$内一点,且点$O到\triangle ABC$三边的距离相等,若$\angle A= 70^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为(
A
)
A.$125^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$35^{\circ}$
答案：A
解析：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=55°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=125°
A
3. 如图,$PC\perp OA于点C$,$PD\perp OB于点D$,$PC= PD$,$Q是OP$上一点,$QE\perp OA于点E$,$QF\perp OB于点F$。求证：$QE= QF$。
答案：证明:
∵PC⊥OA,PD⊥OB,PC=PD,
∴∠AOP=∠BOP.
∵QE⊥OA,QF⊥OB,
∴QE=QF.
4. 如图,在$\triangle ABC$中,$P$,$O分别是BC$,$AC$上的点,作$PR\perp AB$,$PS\perp AC$,垂足分别是$R$,$S$,若$AO= PO$,$PR= PS$,有三个结论：①$AS= AR$,②$OP// AR$,③$\triangle BRP\cong \triangle CSP$,其中正确的是(
C
)
A.①③
B.②③
C.①②
D.①②③
答案：C
解析：
连接AP。
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴AP平分∠BAC，∠ARP=∠ASP=90°。
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
$\left\{\begin{array}{l} AP=AP\\ PR=PS\end{array}\right.$
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS=AR，①正确。
∵AO=PO，
∴∠OAP=∠OPA。
∵AP平分∠BAC，
∴∠OAP=∠RAP，
∴∠OPA=∠RAP，
∴OP//AR，②正确。
△BRP与△CSP中，仅有∠BRP=∠CSP=90°，PR=PS，无法证明全等，③错误。
综上，正确的是①②。
C
5. 如图,$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 48^{\circ}$,$\angle ACB= 84^{\circ}$,点$D$,$E分别在BA$,$BC$的延长线上,$BP平分\angle ABC$,$CP平分\angle ACE$,连接$AP$,则$\angle PAC$的度数为______
66°
。
答案：66°
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=48^\circ$，$\angle ACB=84^\circ$，则$\angle BAC=180^\circ-48^\circ-84^\circ=48^\circ$。
$\angle ACE=180^\circ-\angle ACB=180^\circ-84^\circ=96^\circ$。
因为$CP$平分$\angle ACE$，所以$\angle ACP=\frac{1}{2}\angle ACE=\frac{1}{2}×96^\circ=48^\circ$。
$BP$平分$\angle ABC$，则$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABC=24^\circ$。
设$\angle PAC=x$，则$\angle BAP=\angle BAC+\angle PAC=48^\circ+x$。
在$\triangle ABP$中，$\angle APB=180^\circ-\angle ABP-\angle BAP=180^\circ-24^\circ-(48^\circ+x)=108^\circ-x$。
在$\triangle APC$中，$\angle APC=180^\circ-\angle PAC-\angle ACP=180^\circ-x-48^\circ=132^\circ-x$。
因为点$D$在$BA$延长线上，所以$\angle APB+\angle APC=180^\circ$，即$(108^\circ-x)+(132^\circ-x)=180^\circ$，解得$x=30^\circ$。
$30^\circ$
6. 如图,已知$EF\perp CD$,$EF\perp AB$,$MN\perp AC$,$M是EF$的中点,只需添加
ME=MN(答案不唯一)
,就可使$CM$,$AM分别为\angle ACD和\angle CAB$的平分线。
答案：ME=MN(答案不唯一)
