10. (12分)如图,在$△ABC$中,点D在边BC上,$CD= AB,DE// AB,∠DCE= ∠A$.求证:$DE= BC$.
答案：证明:
∵DE//AB,
∴∠EDC=∠B.
在△CDE和△ABC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EDC=∠B,\\ CD=AB,\\ ∠DCE=∠A,\end{array}\right. $
∴△CDE≌△ABC(ASA),
∴DE=BC.
11. (13分)如图,$AD= BD,CD= ED,∠1= ∠2$.
(1)求证:$△ADE\cong △BDC$;
(2)求证:$∠3= ∠1$.
答案：
(1)证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE,
∴∠BDC=∠ADE.
在△ADE和△BDC中,$\left\{\begin{array}{l} AD=BD,\\ ∠ADE=∠BDC,\\ ED=CD,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△BDC.
(2)设 AE 与 BD 相交于点 O.
∵△ADE≌△BDC,
∴∠DAE=∠DBC.
∵∠DAE+∠1+∠AOD=∠DBC+∠3+∠BOE=180°,∠AOD=∠BOE,
∴∠3=∠1.
(1)根据添加条件,能得出$∠B= ∠D$的同学是
小明
,其得到$△ABC\cong △ADC$的依据是
SAS
;
(2)请你添加一个不同的条件,并写出得到$∠B= ∠D$的思路.
解:添加条件 BC=DC.
因为要得到∠B=∠D,只要证明△ABC≌△ADC.而题目已经给出了 AB=AD 和公共边 AC,添加 BC=DC,根据"SSS"可得到△ABC≌△ADC.
答案：
(1)小明 SAS
(2)解:添加条件 BC=DC.
因为要得到∠B=∠D,只要证明△ABC≌△ADC.而题目已经给出了 AB=AD 和公共边 AC,添加 BC=DC,根据"SSS"可得到△ABC≌△ADC.
13. (15分)如图,在$△ABC$中,D为AB上一点,E为AC的中点,连接DE并延长至点F,使得$CF// AB$.
(1)求证:$△AED\cong △CEF$;
(2)连接BE,若BE平分$∠ABC$,CA平分$∠BCF$,且$∠ABE= 25^{\circ }$,求$∠A$的度数.
答案：
(1)证明:
∵E 为 AC 的中点,
∴AE=CE.
∵CF//AB,
∴∠A=∠ACF.
在△AED 和△CEF 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠ACF,\\ AE=CE,\\ ∠AED=∠CEF,\end{array}\right. $
∴△AED≌△CEF(ASA).
(2)解:
∵BE 平分∠ABC,∠ABE=25°,
∴∠ABC=2∠ABE=50°.
∵CF//AB,
∴∠ABC+∠BCF=180°,∠A=∠ACF,
∴∠BCF=180°-∠ABC=130°,
∵CA 平分∠BCF,
∴∠ACF=$\frac{1}{2}$∠BCF=65°,
∴∠A=65°.
