设点$B$的坐标为$(x,y)$。
$\because$点$C(-2,0)$，点$A(-6,3)$，
$\therefore AC^2=(-6+2)^2+(3-0)^2=(-4)^2+3^2=16 + 9=25$，
$BC^2=(x+2)^2+(y-0)^2=(x+2)^2+y^2$，
$AB^2=(x+6)^2+(y-3)^2$。
$\because$在$\triangle ACB$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，
$\therefore AC^2=BC^2$，$AC^2 + BC^2=AB^2$。
$\therefore (x+2)^2+y^2=25$，
$25 + 25=(x+6)^2+(y-3)^2$，即$(x+6)^2+(y-3)^2=50$。
联立方程$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=25\\(x+6)^2+(y-3)^2=50\end{cases}$，
展开第一个方程：$x^2 + 4x + 4 + y^2=25$，即$x^2 + y^2 + 4x=21$ ①，
展开第二个方程：$x^2 + 12x + 36 + y^2 - 6y + 9=50$，即$x^2 + y^2 + 12x - 6y=5$ ②，
② - ①得：$8x - 6y - 16=0$，化简得$4x - 3y=8$，即$y=\dfrac{4x - 8}{3}$。
将$y=\dfrac{4x - 8}{3}$代入①：$x^2 + \left(\dfrac{4x - 8}{3}\right)^2 + 4x=21$，
$9x^2 + 16x^2 - 64x + 64 + 36x=189$，
$25x^2 - 28x - 125=0$，
$(25x + 25)(x - 5)=0$，
解得$x=5$或$x=-1$。
当$x=5$时，$y=\dfrac{4×5 - 8}{3}=4$；当$x=-1$时，$y=\dfrac{4×(-1)-8}{3}=-4$。
由图可知点$B$在第一象限，$\therefore x=5$，$y=4$，即点$B$的坐标为$(5,4)$。
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