1. 如图,点 E,F 在 BC 上,$BE = CF$,$∠B = ∠C$,添加一个条件,不能证明$△ABF ≌ △DCE$的是(
D
)
A.$∠A = ∠D$
B.$∠AFB = ∠DEC$
C.$AB = DC$
D.$AF = DE$
答案：D
解析：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∠B=∠C，BF=CE。
A. 添加∠A=∠D，根据AAS可证△ABF≌△DCE；
B. 添加∠AFB=∠DEC，根据ASA可证△ABF≌△DCE；
C. 添加AB=DC，根据SAS可证△ABF≌△DCE；
D. 添加AF=DE，是SSA，不能证明△ABF≌△DCE。
D
2. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,D 为 BC 上一点,连接 AD. 过点 B 作$BE ⊥ AD$于点 E,过点 C 作$CF ⊥ AD$交 AD 的延长线于点 F. 若$BE = 4$,$CF = 1$,则 EF 的长度为
3
.
答案：3
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^\circ$，$AB=AC$，则$\angle ABC=\angle ACB=45^\circ$。
因为$BE\perp AD$，$CF\perp AD$，所以$\angle AEB=\angle CFA=90^\circ$。
$\angle BAE + \angle EAC = 90^\circ$，$\angle EAC + \angle ACF = 90^\circ$，故$\angle BAE = \angle ACF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAF$中，
$\begin{cases}\angle AEB = \angle CFA \\\angle BAE = \angle ACF \\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle ABE \cong \triangle CAF(AAS)$。
则$AE=CF=1$，$AF=BE=4$。
因为$EF=AF - AE$，所以$EF=4 - 1=3$。
3
3. 如图,D,E 两点分别在 AB,AC 上,$AB = AC$,要使$△ABE ≌ △ACD$,只需添加一个条件,这个条件可以是
∠B=∠C(答案不唯一)
.
答案：∠B=∠C(答案不唯一)
4. (2024·鼓楼区模拟)如图,在四边形 ABCD 中,$AB // CD$,在 BD 上取两点 E,F,使$DF = BE$,连接 AE,CF. 若$AE // CF$,试说明$△ABE ≌ △CDF$.
答案：证明:
∵AB//CD,
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE//CF,
∴∠AEB=∠CFD.
在△ABE和△CDF中,∠ABE=∠CDF,
BE=DF,
∠AEB=∠CFD,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
5. 如图,已知 AD 是$△ABC$的中线,过点 C,B 分别作 AD 的垂线,垂足分别为 F,E,请完成以下问题.
(1)求证：$CF = BE$；
(2)若$△ACF$的面积为 28,$△CFD$的面积为 12,求$△ABE$的面积.
答案：
(1)证明:
∵CF⊥AD,BE⊥AD,
∴∠CFD=∠BED=90°.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
在△CFD和△BED中,∠CFD=∠BED,
∠CDF=∠BDE,
CD=BD,
∴△CFD≌△BED(AAS).
∴CF=BE.
(2)解:
$∵S_{△ACF}=28,S_{△CFD}=12,$
$∴S_{△ACD}D=S_{△ACF}+S_{△CFD}=40.$
∵BD=CD,
$∴S_{△ABD}=S_{△ACD}=40.$
由
(1)得:△CFD≌△BED,
$∴S_{△CFD}=S_{△BED}=12,$
$∴S_{△ABE}=S_{△ABD}+S_{△BED}=40+12=52.$
