1. 阅读教材第157页“阅读与思考”,解决下列问题：
在初中数学综合与实践课上,同学们对“容器中的水能倒完吗”这一问题进行探究。
问题1：
(1) 请根据分式的减法法则推导$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$；
(2) 仿照“阅读与思考”中的化简方法,化简$\frac{1}{1×3} + \frac{1}{3×5} + \frac{1}{5×7} + … + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$。
问题2：
(1) 若容器中有2L水,按照“阅读与思考”中的倒水方法(即第1次倒出2L的$\frac{1}{2}$,第2次倒出的水量是$2×\frac{1}{2}$L的$\frac{1}{3}$,第3次倒出的水量是$2×\frac{1}{3}$L的$\frac{1}{4}$,……第n次倒出的水量是$2×\frac{1}{n}$L的$\frac{1}{n + 1}$),求倒n次后倒出的总水量；(用含n的式子表示)
(2) 判断按照上述倒水方法容器中的2L水能否倒完,并说明理由。
答案：1.解:问题1：
(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=$$\frac{1}{n(n+1)}$.
(2)$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$$=\frac{1}{2}×\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\right.$$\left.\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right]$$=\frac{1}{2}×\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$$=\frac{n}{2n+1}$.
问题2：
(1)第一次倒出2 L的$\frac{1}{2}$,即$2×\frac{1}{2}=2×\frac{1}{1×2}\ \text{L}$；
第2次倒出$2×\frac{1}{2}\ \text{L}$的$\frac{1}{3}$,即$2×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=2×\frac{1}{2×3}\ \text{L}$；
第3次倒出$2×\frac{1}{3}\ \text{L}$的$\frac{1}{4}$,即$2×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=2×\frac{1}{3×4}\ \text{L}$；
第4次倒出$2×\frac{1}{4}\ \text{L}$的$\frac{1}{5}$,即$2×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=2×\frac{1}{4×5}\ \text{L}$；
……
第n次倒出$2×\frac{1}{n}\ \text{L}$的$\frac{1}{n+1}$,即$2×\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=2×$$\frac{1}{n(n+1)}\ \text{L}$.
倒n次后倒出的总水量为$2×\frac{1}{1×2}+2×\frac{1}{2×3}+2×\frac{1}{3×4}$$+\cdots+2×\frac{1}{(n-1)n}+2×\frac{1}{n(n+1)}$$=2\left[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}\right]$$=2×\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$=2×\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$$=\frac{2n}{n+1}$.
(2)不能.理由如下:可以发现,随着倒水次数的不断增加,倒出的总水量$\frac{2n}{n+1}\ \text{L}$也不断增加,然而,不论倒水次数n有多大,倒出的总水量$\frac{2n}{n+1}\ \text{L}$总小于2 L.所以按这种方法,容器中的2 L水倒不完.
2. 阅读教材第170页数学活动,解决下列问题：
提出问题：当$x ＞ 0$时,如何求代数式$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$的最大值或最小值？
分析问题：前面我们刚刚学过配方的相关知识,例如$x^{2} + 6x + 10 = x^{2} + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^{2} + 1$,所以当$x = - 3$时,此多项式有最小值1。
解决问题：
(1) 实践操作：填写下表。
| $x$ | … | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | … |
| $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ | … |
$\frac{82}{9}$
|
$\frac{17}{4}$
|
2
|
$\frac{17}{4}$
|
$\frac{82}{9}$
|
$\frac{257}{16}$
| … |
(2) 观察猜想：当$x = $
1
时,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$有最
小
值(填“大”或“小”),是
2
。
(3) 推理论证：利用配方法求$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}(x ＞ 0)$的最大(或最小)值。
解:$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}+2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+2$,$\because\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}\geqslant0$,$\therefore$代数式$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}(x＞0)$的最小值是2.
(4) 综合应用：求代数式$x^{2} - 6x + \frac{1}{(x - 3)^{2}} + 10(x ＞ 3)$的最大(或最小)值,并求出此时$x$的值。
解:$\because x^{2}-6x+\frac{1}{(x-3)^{2}}+10=x^{2}-6x+9+\frac{1}{(x-3)^{2}}+$$1=(x-3)^{2}+\frac{1}{(x-3)^{2}}+1=(x-3)^{2}-2+\frac{1}{(x-3)^{2}}+1+$$2=\left[(x-3)-\frac{1}{x-3}\right]^{2}+3$,$\left[(x-3)-\frac{1}{x-3}\right]^{2}\geqslant0$,$\therefore$代数式$\left[(x-3)-\frac{1}{x-3}\right]^{2}+3$有最小值,$\therefore$当$x-3=1$,即$x=4$时,$x^{2}-6x+\frac{1}{(x-3)^{2}}+10$有最小值3.
答案：2.
(1)解:填表如下：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&\cdots&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}&1&2&3&4&\cdots\\\hline x^{2}+\frac{1}{x^{2}}&\cdots&\frac{82}{9}&\frac{17}{4}&2&\frac{17}{4}&\frac{82}{9}&\frac{257}{16}&\cdots\\\hline\end{array}$
(2)1 小 2
(3)解:$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}+2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+2$,$\because\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}\geqslant0$,$\therefore$代数式$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}(x＞0)$的最小值是2.
(4)解:$\because x^{2}-6x+\frac{1}{(x-3)^{2}}+10=x^{2}-6x+9+\frac{1}{(x-3)^{2}}+$$1=(x-3)^{2}+\frac{1}{(x-3)^{2}}+1=(x-3)^{2}-2+\frac{1}{(x-3)^{2}}+1+$$2=\left[(x-3)-\frac{1}{x-3}\right]^{2}+3$,$\left[(x-3)-\frac{1}{x-3}\right]^{2}\geqslant0$,$\therefore$代数式$\left[(x-3)-\frac{1}{x-3}\right]^{2}+3$有最小值,$\therefore$当$x-3=1$,即$x=4$时,$x^{2}-6x+\frac{1}{(x-3)^{2}}+10$有最小值3.
