3. 国庆节前,某超市为了满足人们的购物需求,计划购进甲、乙两种水果进行销售. 经了解,乙种水果的进价比甲种水果的进价贵 5 元/千克,售价如下表所示：
|水果种类|甲|乙|
|售价/(元/千克)|30|36|
已知用 1200 元购进甲种水果的质量与用 1500 元购进乙种水果的质量相同.
(1) 求甲、乙两种水果的进价；
(2) 若超市购进这两种水果共 150 千克,其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的 2 倍,则超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
答案：
(1)设甲种水果的进价为x元/千克,则乙种水果的进价为(x+5)元/千克.
由题意得$\frac{1200}{x}=\frac{1500}{x+5}$,解得x=20.
经检验,x=20是原方程的解,且符合题意,则x+5=25.
答:甲种水果的进价为20元/千克,乙种水果的进价为25元/千克.
(2)设购进甲种水果m千克,则购进乙种水果(150-m)千克,利润为y元.
由题意得y=(30-20)m+(36-25)(150-m)=-m+1650.
∵甲种水果的质量不低于乙种水果质量的2倍,
∴m≥2(150-m),解得m≥100,
∴当m=100时,y取得最大值,$y_{最大}=-100+1650=1550$,则150-m=50.
答:购进甲种水果100千克,乙种水果50千克才能获得最大利润,最大利润为1550元.
4. 某工厂急需生产一批健身器械共 500 台,送往销售点出售. 当生产 150 台后,接到通知,要求提前完成任务,因而接下来的时间,每天生产的台数提高到原来的 1.4 倍,一共用 8 天刚好完成任务.
(1) 原来每天生产健身器械多少台？
(2) 某运输公司的大货车数量不足 10 辆,小货车数量充足,计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输. 已知每辆大货车一次可以运输健身器械 50 台,每辆大货车需要的费用为 1500 元；每辆小货车一次可以运输健身器械 20 台,每辆小货车需要的费用为 800 元. 在运输总费用不超过 16000 元的前提下,请写出所有符合题意的运输方案. 哪种运输方案的费用最低,最低运输费用是多少？
答案：
(1)设原来每天生产健身器械x台,则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台.
依题意得$\frac{150}{x}+\frac{500-150}{1.4x}=8$,解得x=50.
经检验,x=50是原方程的解,且符合题意.
答:原来每天生产健身器械50台.
(2)设同时使用m辆大货车,n辆小货车.
∵同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输,
∴50m+20n≥500,$\therefore n\geq 25-\frac{5}{2}m$.
又
∵该运输公司的大货车数量不足10辆,且运输总费用不超过16000元,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} m＜10,\\ 1500m+800n\leq 16000,\end{array}\right. $
即$\left\{\begin{array}{l} m＜10,\\ 1500m+800(25-\frac{5}{2}m)\leq 16000,\end{array}\right. $
解得8≤m＜10.
又
∵m为整数,
∴m可以为8,9.
当m=8时,$n\geq 25-\frac{5}{2}m=25-\frac{5}{2}× 8=5$.
当m=9时,$n\geq 25-\frac{5}{2}m=25-\frac{5}{2}× 9=\frac{5}{2}$,
又
∵n为整数,
∴n的最小值为3.
∴共有2种运输方案.
方案1:使用8辆大货车,5辆小货车.
方案2:使用9辆大货车,3辆小货车.
方案1所需运输费用为1500×8+800×5=16000(元),
方案2所需运输费用为1500×9+800×3=15900(元).
∵16000＞15900,
∴运输方案2的费用最低,最低运输费用是15900元.
