2. 阅读教材第 134 页数学活动 1,解决下列问题:
【观察思考】观察个位上的数字是 5 的自然数的平方(任意一个个位数字为 5 的自然数$\overline {n5}$可用代数式10n+5来表示,其中$n$为正整数),会发现一些有趣的规律.请你仔细观察,探索其规律,并归纳猜想出一般结论.
【规律发现】
第 1 个等式:$15^{2}= (1×2)×100+25$;
第 2 个等式:$25^{2}= (2×3)×100+25$;
第 3 个等式:$35^{2}= (3×4)×100+25$;……
【规律应用】
(1)写出第 4 个等式:
$45^{2}=(4× 5)× 100+25$
;第 5 个等式:
$55^{2}=(5× 6)× 100+25$
;
(2)写出你猜想的第$n$个等式:
$(10n+5)^{2}=100n(n+1)+25$
;(用含$n$的等式表示)
(3)根据以上规律计算$2025^{2}$的值,并写出计算过程.
解:$2025^{2}=202× 203× 100+25=4100625$.
答案：
(1)$45^{2}=(4× 5)× 100+25$ $55^{2}=(5× 6)× 100+25$
(2)$(10n+5)^{2}=100n(n+1)+25$
(3)解:$2025^{2}=202× 203× 100+25=4100625$.
3. 阅读教材第 134 页数学活动 2,解决下列问题:
利用因式分解生成密码:先将确定的多项式分解因式,再对因式赋值生成正整数或 0 的因式码,将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如,多项式$x^{2}y-4y$,将其分解因式为$y(x+2)(x-2)$.若取$x= 15,y= 12$,则有$y= 12,x+2= 17,x-2= 13$,其中 12,17,13 分别为因式码,将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码 121317. 当然也可取另外一些适当的数,得出新的密码.
(1)已知多项式$9x^{2}-y^{2}$,当$x= 7,y= 4$时,用上述材料中的方法生成的密码是什么?
(2)已知多项式$16p^{4}-q^{4}$,用上述方法生成密码,若密码的前两个因式码为 5,15,你能求出$p,q$的值以及第三个因式码吗?($p,q$均为正数)
(3)自己写一个可以用平方差公式因式分解的多项式,并按照上述方法生成一个密码(给出相应字母取值).
答案：解:
(1)$9x^{2}-y^{2}=(3x+y)(3x-y)$.
当$x=7$,$y=4$时,$3x+y=3× 7+4=25$,$3x-y=3× 7-4=17$.
将因式码17,25按从小到大的顺序排列,生成的密码是1725.
(2)$16p^{4}-q^{4}=(4p^{2}+q^{2})(2p+q)(2p-q)$.
由已知得$2p-q=5$,$2p+q=15$,
解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2p-q=5,\\ 2p+q=15\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} p=5,\\ q=5.\end{array}\right. $
将$p=5$,$q=5$代入$4p^{2}+q^{2}$,可得$4p^{2}+q^{2}=125$. $\therefore$第三个因式码为125.
(3)(答案不唯一)如多项式$25a^{2}-9b^{2}$,因式分解得$25a^{2}-9b^{2}=(5a+3b)(5a-3b)$.
当$a=2$,$b=1$时,$5a+3b=5× 2+3× 1=13$,$5a-3b=5× 2-3× 1=7$.
生成的密码是713.
